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18.(本小題滿分10分)已知數(shù)列{a_n}、{b_n},其中a_n=1+3+5+…+(2n+1),bn=2ⁿ+4(n≥5),試問是否存在這樣的自然數(shù)n,使得a_n≤b_n成立？

分析 對n賦值后,比較幾對a_n與b_n的大小,可作出合理猜測,再用數(shù)學(xué)歸納法予以證明.

解 a_n=1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)²,

當(dāng)n=5時,a₅=36,b₅=2⁵+4=36,此時a₅=b₅;

當(dāng)n=6時, a₆=49,b₆=2⁶+4=68,此時a₆<b₆;

當(dāng)n=7時,a₇=64,b₇=2⁷+4=132,此時a₇<b₇;

當(dāng)n=8時,a₈=81,b₈=2⁸+4=260,此時a₈<b₈.

猜想:當(dāng)n≥6時,有a_n<b_n.         3分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想.

①當(dāng)n=6時,顯然不等式成立,∴n=6時,不等式a_n<b_n成立;

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥6)時,不等式成立,即a_k<b_k,也即(k+1)²<2k+4;當(dāng)n=k+1時，b_k+1=2^k+1+4=2(2^k+4)-4>2(k+1)²-4=2k²+4k-2,

而(2k²+4k-2)-(k+2)²=k²-6>0(∵k≥6,∴k²＞6),

即2k²+4k-2>(k+2)²=［(k+1)+1］².

由不等式的傳遞性,知b_k+1>［(k+1)+1］²=a_k+1.

∴當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.    8分

由①②可知,對一切n∈N,且n≥6,都有a_n<b_n.

綜上所述,可知只有當(dāng)n=5時,a_n=b_n;當(dāng)n≥6時,a_n＜b_n.因此存在使a_n≤b_n成立的自然數(shù)n.

10分

∴a_n=100.故隨著時間的推移,去健身房的人數(shù)穩(wěn)定在100人左右.              8分

∴a_n-100=(a_n-1-100).于是a_n-100=(a₁-100)?()^n-1,即a_n=100+()^n-1?(a₁-100).  6分

即a_n=a_n-1+30.                  4分

∴a_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+(150-a_n-1)=a_n-1+30,

17.(本小題滿分8分)某校有教職工150人,為了豐富教工的課余生活,每天定時開放健身房和娛樂室.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計,每次去健身房的人有10%下次去娛樂室,則在娛樂室的人有20%下次去健身房.請問,隨著時間的推移,去健身房的人數(shù)能否趨于穩(wěn)定?

分析 本題考查用數(shù)列的遞推公式求通項及數(shù)列的極限.

解 設(shè)第n次去健身房的人數(shù)為a_n,去娛樂室的人數(shù)為b_n,則a_n+b_n=150,              2分

=　　　　　8分

∴

=4?-17n=2n²-15n.    6分

∴f(x)=4x-17.       4分

∴f(1)+f(2)+…+f(n)

=(4×1-17)+(4×2-17)+…+(4×n-17)

=4×(1+2+…+n)-17n