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如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分別是
CC₁、BC的中點，點P在A₁B₁上，且滿足

.

A1P

=λ

.

A1B1

（λ∈R）．
（1）證明：PN⊥AM；
（2）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該最大角的正切值；
（3）若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，試確定點P的位置．

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如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC₁，BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且

A1P

=λ

A1B1

；
（Ⅰ）證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；
（Ⅱ）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角取最大值時的正切值；
（Ⅲ）是否存在點P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°，若存在，試確定點P的位置，若不存在，請說明理由．

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1．D  2．Ｃ　3．B　4．Ｂ　5．Ｄ　6．Ｄ　7．Ａ　8．Ｃ

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9．72    10．    11．1 ，       12．f(x)=，3

13．，          14．①②③④ , ①③②④

注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

15．（本小題滿分13分）

解：設既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有（7-x）人，那么只會一項的人數是

（7-2 x）人．

 (I)∵，

∴．……………………………………3分

即．

∴．

∴x=2．           ……………………………………5分

故文娛隊共有5人．……………………………………7分

(II) 的概率分布列為

0

1

2

P

，……………………………………9分

，……………………………………11分

∴ =1．   …………………………13分

16．（本小題滿分13分）

解：(I)由，得

．……………………………………2分

當x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0．       ①

當時，有極值，則，可得4a+3b+4=0．②

由①、②解得    a=2,b=-4．……………………………………5分

設切線l的方程為  ．

由原點到切線l的距離為，

則．解得m=±1．

∵切線l不過第四象限，

∴m=1．……………………………………6分

由于l切點的橫坐標為x=1，∴．

∴1+a+b+c=4．

∴c=5．…………………………………………………………………7分

(II)由(I)可得，

∴．……………………………………8分

令，得x=－2, ．

x

[-3,-2)

-2

(-2, )

(,1]

+

0

-

0

+

f(x)

極大值

極小值

……………………………………11分

∴f(x)在x=－2處取得極大值f(-2)=13．

在處取得極小值=．

又f(-3)=8，f(1)=4．

∴f(x)在[-3,1]上的最大值為13，最小值為．……………………………………13分

17．（本小題滿分14分）

解法一：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，

∴PCAB．…………………………2分

∵CD平面PAB，平面PAB，

∴CDAB．…………………………4分

又，

∴AB平面PCB．  …………………………5分

(II) 過點A作AF//BC，且AF=BC，連結PF，CF．

則為異面直線PA與BC所成的角．………6分

由（Ⅰ）可得AB⊥BC，

∴CFAF．

由三垂線定理，得PFAF．

則AF=CF=，PF=，

在中，  tan∠PAF==，

∴異面直線PA與BC所成的角為．…………………………………9分

（III）取AP的中點E，連結CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂線定理的逆定理，得  DE PA．

∴為二面角C-PA-B的平面角．…………………………………11分

由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．

　　在中，PB=，

    ．

    在中， sin∠CED=．

∴二面角C-PA-B的大小為arcsin．……14分

解法二：（I）同解法一．

(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=．

以B為原點，如圖建立坐標系．

則Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），

C（，０，0），P（，０，2）．

，．

…………………7分

    則+0+0=2．

    == ．

   ∴異面直線AP與BC所成的角為．………………………10分

（III）設平面PAB的法向量為m= (x，y，z)．

，，

則   即

解得   令= -1,  得 m= (，0，-1)．

   設平面PAC的法向量為n=()．

，，

 則   即

解得   令=1,  得 n= (1，1，0)．……………………………12分

    =．

    ∴二面角C-PA-B的大小為arccos．………………………………14分

18．（本小題滿分13分）

解：（I）設P（x，y），因為A、B分別為直線和上的點，故可設

　　　，．

　　　∵，

　　　∴∴………………………4分

　　　又，

　　　∴．……………………………………5分

　　　∴．

　　即曲線C的方程為．………………………………………6分

（II） 設N（s，t），M（x，y），則由，可得（x，y-16）= (s，t-16)．

     故，．……………………………………8分

     ∵M、N在曲線C上，

     ∴……………………………………9分

     消去s得  ．

由題意知，且，

     解得   ．………………………………………………………11分

又   ， ∴．

     解得  （）．

   故實數的取值范圍是（）．………………………………13分

19．（本小題滿分13分）

解：（I）∵，，，

        ∴．

        即．

        又，可知對任何，，

所以．……………………………2分

        ∵，

      ∴是以為首項，公比為的等比數列．………4分

    （II）由（I）可知=  （）．

        ∴．

        ．……………………………5分

         當n=7時，，；

         當n<7時，，；

         當n>7時，，．

∴當n=7或n=8時，取最大值，最大值為．……8分

  （III）由，得       （*）

        依題意（*）式對任意恒成立，

        ①當t=0時，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．…………9分

　　　　　②當t<0時，由，可知（）．

　　　　　　而當m是偶數時，因此t<0不合題意．…………10分

　　　　　③當t>0時，由（）,

∴　∴．    （）……11分

　　　　　　設     （）

　　　　　　∵ =,

　　　　　　∴．

　　　　　　∴的最大值為．

　　　　　　所以實數的取值范圍是．…………………………………13分

20．（本小題滿分14分）

解：（I） ∵x>0，∴

∴f(x)在（0，1）上為減函數，在上是增函數．

由0<a<b，且f(a)=f(b)，

可得 0<a1<b和．

即．

∴2ab=a+b>．……………………………………3分

故，即ab>1．……………………………………4分

 （II）不存在滿足條件的實數a，b．

     若存在滿足條件的實數a，b，使得函數y=的定義域、值域都是

[a，b]，則a>0．

①   當時，在（0，1）上為減函數．

故     即 

解得  a=b．

故此時不存在適合條件的實數a，b．………………………………6分

②     當時，在上是增函數．

故     即 

此時a，b是方程的根，此方程無實根．

故此時不存在適合條件的實數a，b．………………………………8分

③     當，時，

由于，而，

故此時不存在適合條件的實數a，b．

      綜上可知，不存在適合條件的實數a，b．………………………………10分

（III）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]．

      則a>0，m>0．

①       當時，由于f(x)在（0，1）上是減函數，故．此時刻得a,b異號，不符合題意，所以a，b不存在．

②       當或時，由（II）知0在值域內，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

        故只有．

∵在上是增函數，

     ∴        即 

a，  b是方程的兩個根．

即關于x的方程有兩個大于1的實根．……………………12分

設這兩個根為，．

則+=，?=．

∴       即 

解得   ．

    故m的取值范圍是．…………………………………………14分