Question

 已知，，數列滿足，

， ．

（I）求證：數列是等比數列；

（II）當n取何值時，取最大值，并求出最大值；

（III）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）∵，，，

        ∴．

        即．…………………………………………1分

        又若a_n≠1，則a_n+1≠1，事實上當a_n≠1時，由知，若a_n+1=1，則a_n=1，從而與a_n≠1矛盾，故a_n+1≠1．

由此及≠1可知a_n≠1對任意n∈N都成立．

       故對任何，，………………………………………3分

所以．

        ∵，

      ∴是以為首項，為公比的等比數列.…………5分

    （II）由（I）可知=  （）．

        ∴．

       

  （III）由，得 ……………… （*）

        依題意（*）式對任意恒成立，

        ①當t=0時，（*）式顯然不成立，因此t=0不符合題意．…………10分

　　　　　②當t<0時，由，可知（）．

　　　　　　而當m是偶數時，因此t<0不符合題意．………………11分

　　　　　③當t>0時，由（）,

∴ ，∴．（）

　　　　　　設  （），

　　　　　　∵ =,

　　　　　　∴．

　　　　　　∴的最大值為．………………………………13分

　　　　　　所以實數的取值范圍是．………………………………14分