Question

已知正項(xiàng)數(shù)列滿足4S_n=（a_n+1）²．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由4S_n=（a_n+1）²．可知當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n-1=（a_n-1+1）²，兩式相減，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（Ⅱ） 由（1）知  bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項(xiàng)求和即可求解

解答：解：（Ⅰ）∵4S_n=（a_n+1）²．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n-1=（a_n-1+1）²．
兩式相減可得，4（s_n-s_n-1）=(an+1)2-(an-1+1)2
即4a_n=(an+1)2-(an-1+1)2
整理得a_n-a_n-1=2              …（4分）
又a₁=1
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1 …（6分）
（Ⅱ） 由（1）知  bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（8分）
所以Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

            …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用