Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分別是
CC₁、BC的中點，點P在A₁B₁上，且滿足

.

A1P

=λ

.

A1B1

（λ∈R）．
（1）證明：PN⊥AM；
（2）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該最大角的正切值；
（3）若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，試確定點P的位置．

Answer 1

分析：（1）以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，求出各點的坐標及對應向量的坐標，易判斷

.

PN

•

.

AM

=0，即PN⊥AM；
（2）設出平面ABC的一個法向量，我們易表達出sinθ，然后利用正弦函數的單調性及正切函數的單調性的關系，求出滿足條件的λ值，進而求出此時θ的正線值；
（3）平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，則平面PMN與平面ABC法向量的夾角為45°，代入向量夾角公式，可以構造一個關于λ的方程，解方程即可求出對應λ值，進而確定出滿足條件的點P的位置．

解答：解：（1）證明：如圖，以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz．
則P（λ，0，1），N（

1

2

，

1

2

，0），M（0，1，

1

2

），（2分）
從而

.

PN

=（

1

2

-λ，

1

2

，-1），

.

AM

=（0，1，

1

2

），

.

PN

•

.

AM

=（

1

2

-λ）×0+

1

2

×1-1×

1

2

=0，
所以PN⊥AM．（3分）
（2）平面ABC的一個法向量為

n

=（0，0，1），
則sinθ=|sin（

π

2

-＜

.

PN

，

n

＞）|=|cos＜

.

PN

，

n

＞|
=|

PN • n

| PN | •| n |

|=

1

(λ- 1 2 )  2+ 5 4

（※）．（5分）
而θ∈[0，

π

2

]，當θ最大時，sinθ最大，tanθ最大，θ=

π

2

除外，
由（※）式，當λ=

1

2

時，（sinθ）_max=

2 5

5

，（tanθ）_max=2．（6分）
（3）平面ABC的一個法向量為

n

=

.

AA 1

=（0，0，1）．
設平面PMN的一個法向量為

m

=（x，y，z），
由（1）得

.

MP

=（λ，-1，

1

2

）．
由

m • NP =0 m • MP =0

得

(λ- 1 2 )x- 1 2 y+z=0 λx-y+ 1 2 z=0.

解得

y= 2λ+1 3 x z= 2(1-λ) 3 x.

令x=3，得

m

=(3，2λ+1，2(1-λ))
∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=

|2(1-λ)|

9+(2λ+1)2+4(1-λ)2

=

2

2

，
解得λ=-

1

2

．（11分）
故點P在B₁A₁的延長線上，且|A₁P|=

1

2

．（12分）

點評：本題考查的知識點是向量評議表述線線的垂直、平等關系，用空間向量求直線與平面的夾角，用空間向量求平面間的夾角，其中熟練掌握向量夾角公式是解答此類問題的關鍵．