(13分)已知
，
，數列
滿足
，
， 
．
（Ⅰ）求證：數列
是等比數列；
（Ⅱ）當n取何值時，
取最大值，并求出最大值；
（III）若
對任意
恒成立，求實數
的取值范圍．
解析：（I）∵
，
，
，
∴
．
即
．
又
，可知對任何
，
，
所以
．……………………………2分
∵
，
∴
是以
為首項，公比為
的等比數列．………4分
（II）由（I）可知
=
（
）．
∴
．
．……………………………5分
當n=7時，
，
；
當n<7時，
，
；
當n>7時，
，
．
∴當n=7或n=8時，
取最大值，最大值為
．……8分
（III）由
，得
（*）
依題意（*）式對任意
恒成立，
①當t=0時，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．…………9分
②當t<0時，由
，可知
（）．
而當m是偶數時
，因此t<0不合題意．…………10分
③當t>0時，由（）,
∴
∴
． （）……11分
設
（）
∵
=
,
∴
．
∴
的最大值為
．
的取值范圍是
．…………………………………13分 
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（本小題滿分13分）已知函數f (x)=2n
在［0,+
上最小值是a
（n∈N*）.
(1)求數列{a}的通項公式；(2)已知數列{b}中，對任意n∈N*都有ba
=1成立，設S為數列{b}的前n項和，證明：2S<1;(3)在點列A(2n,a)中是否存在兩點A
,A
(i,j∈N*)，使直線AA的斜率為1？若存在，求出所有的數對（i,j）；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
（本小題滿分13分）
已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點。
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直線
，使得直線與橢圓C有公共點，且直線OA與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由。
【命題意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想。
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科目：高中數學 來源：2011屆福建省廈門外國語學校高三上學期11月月考理科數學卷 題型：解答題
（本小題滿分13分）已知數列
，定義其倒均數是
。
（1）求數列{
}的倒均數是
，求數列{}的通項公式；
（2）設等比數列
的首項為－1，公比為
，其倒數均為
，若存在正整數k，使
恒成立，試求k的最小值。
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科目：高中數學 來源：2014屆湖北武漢部分重點中學高二上學期期末考試文科數學卷（解析版） 題型：解答題
（本小題13分）已知關于x的一元二次函數
，分別從集合P和Q中隨機取一個數a和b得到數列
。
（1）若
，
，列舉出所有的數對，并求函數
有零點的概率；
（2）若
，
，求函數在區間
上是增函數的概率。
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年北京市西城區高三上學期期末考試文科數學試卷 題型：解答題
（本小題滿分13分）已知數列
.如果數列
滿足
，
，其中
，則稱
為
的“衍生數列”.
（Ⅰ）寫出數列
的“衍生數列”
；
（Ⅱ）若
為偶數，且的“衍生數列”是，證明：
；
（Ⅲ）若
為奇數，且的“衍生數列”是，的“衍生數列”是
，….依次將數
列，，，…的首項取出，構成數列
.證明：
是等差數列.
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