Question

已知，，數列滿足，

， ．

（Ⅰ）求證：數列是等比數列；

（Ⅱ）當n取何值時，取最大值，并求出最大值；

（III）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵，，，

        ∴．

        即．

        又，可知對任何，，

所以．

        ∵，

      ∴是以為首項，公比為的等比數列

    （II）由（I）可知=  （）．

        ∴．

        ．

         當n=7時，，；

         當n<7時，，；

         當n>7時，，．

∴當n=7或n=8時，取最大值，最大值為．

  （III）由，得       （*）

        依題意（*）式對任意恒成立，

        ①當t=0時，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．

　　　　　②當t<0時，由，可知（）．

　　　　　　而當m是偶數時，因此t<0不合題意．

　　　　　③當t>0時，由（）,

∴　∴．    （）

　　　　　　設     （）

　　　　　　∵ =,

　　　　　　∴．

　　　　　　∴的最大值為．

　　　　　　所以實數的取值范圍是．