安徽省安慶一中2009年高三第二學期高考模擬試卷（三）
數學（理）
一、 選擇題：（每題5分）
1、 設集合
，則
是（ ）
A、
B、
C、
D、
2、命題“若
，則
”的逆否命題是（ ）
A、若
則
B、若
則
C、若則
D、若則
3、設函數
是定義在實數集上，它的圖象關于直線
對稱，并且當
時，
，則有（ ）
A、
B、
C、
D、
4、如果函數
的圖象關于直線
對稱，那么
=（ ）
A、
B、
C、
D、
5、已知函數
在
內是減函數，則有（ ）
A、
B、
C、
D、
6、已知
和
表示平面內所有向量的一組基底，那么下面四組向量中不能作為一組基底的是（ ）
A、和
B、
和
C、和
D、和
7、設雙曲線
的半焦距為
，直線
過點兩點
。已知原點到直線的距離為
，則雙曲線的離心率是（ ）
A、
B、
C、
D、
8、點A是
所在平面外一點，E，F分別在線段AB、CD上，且
，設
，
表示EF與AC所成的角，
表示EF與BD所成的角，則（ ）
A、
在
上是增函數
B、在上是減函數
C、在
上是增函數
D、在上是常數
9、以圓
內橫坐標與縱坐標均為整數的點為頂點的三角形的個數等于（
）
A、76 B、
10、設
是無窮等差數列，
是其前
項的和，若
存在，則這樣的等差數列
A、可能存在但不確定 B、必存在且不是唯一的C、有且僅有一個D、必不存在（ ）
二、填空：（每題5分）
11、若
，則復數
在復平面內所對應的點在第
象限
12、已知長方體的全面積為
，則它的對角線長的最小值為
13、設隨機變量
，則
=
14、若
，則其展開式中
的系數是
15、設
是正實數，則函數
的最小值為
16、（本題滿分12分）
設函數
，其中向量
，
，
,且
的圖像講過點
.
（Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ）求函數的最大值及此時x值的集合；
（Ⅲ）求函數的圖像中，求出離坐標軸y軸最近的對稱方程.
17、（本題滿分12分）
已知各項均為正數的數列滿足
，且
是
的等差中項.
(Ⅰ)求數列的通項公式
；
（Ⅱ）若
，
,求使
成立的正整數n的最小值.
18、（本題滿分12分）
一個口袋中有大小相同的2個白球和4個黑球。
（Ⅰ）采取放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求兩個球恰好顏色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求摸得白球的個數的數學期望。
19、（本題滿分13分）
如圖，三棱錐
中，
底面
于
，
,
,點
、
分別是
和
的中點
（Ⅰ）求證：側面
側面
；
（Ⅱ）求點到側面
的距離；
（Ⅲ）求二面角
的大小.
20、（本題滿分13分）
已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為
，右頂點為
.
（Ⅰ）求雙曲線C的方程
（Ⅱ）若直線
與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B且
（其中
為原點），求k的取值范圍
21、（本題滿分13分）
已知函數
，
（Ⅰ）若
在
取得極值，求b的值；
（Ⅱ）若
在
上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當
時，求方程
有根時
的最小值。
一、1、D 2、A 3、B 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、C
二、11、二 12、2cm 13、1 14、49720， 15、5www.ks5 u.com
三、16、解：
（1）
……3分
，得
……………………………5分
（2）由（1）得
………7分
當
時，
的最大值為
…………………………………9分
由，得
值為集合為
………………………10分
(3)由
得
所以
時，
為所求….12分
17、解：www.ks5 u.com
(1)
數列
的各項均為正數，
即
，所以數列是以2為公比的等比數列……………………3分
是
的等差中項，
數列的通項公式
…………………………………………………………6分
（2）由（1）及
得
，…………………………………………8分
①
②
②-①得，
…10分
要使
成立，只需
成立，即
使成立的正整數n的最小值為5…………………………………12分
18、解：(1)解法一：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件A，
“兩球恰好顏色不同”共2×4+4×2=16種可能，
………………4分
解法二：“有放回摸取”可看作獨立重復實驗 每次摸出一球得白球的概率為
“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為
………………………4分
（2）設摸得白球的個數為
，依題意得
……
…………………………………………………………………………………………10分
……………………………………………………12分
19、證明：（1）
平面
平面
平面,
又
平面
側面
側面……………………4分
（2）
為
的中點，
又側面側面 從而
側
故
的長就是點
到側面的距離在等腰
中，
……………………………………8分
說明：亦可利用向量的方法求得
（3）幾何方法：可以證明
就是二面角
的
平面角……………………………………10分
從而
………………13分
亦可利用等積轉換算出
到平面
的高，
從而得出二面角的平面角為
……13分
說明：也可以用向量法：平面
的法向量為
平面的法向量為
………………10分
二面角的平面角為
20、解（1）設雙曲線方程為
由已知得
，再由
，得
故雙曲線
的方程為
.…………………………………………5分
（2）將
代入得
由直線
與雙曲線交與不同的兩點得
即
且
. ① 設
，則…………………8分
，由
得
，
而
.…………………………11分
于是
，即
解此不等式得
②
由①+②得
故的取值范圍為
…………………………………13分
21、解：（1）由題設知
，又
，得
……………2分
（2）
…………………………………………………3分
由題設知
時
…………………………………………………4分
（當
時，取最小值）……………………4分
而
時，當且僅當時
…………………7分
（3）
時，方程
變形為
令
得
………9分
由
，得
或
，
由
，得
………………………………11分
又因為
故
在
取得唯一的極小值
又當
時，的值
，當
時，
的值
，函數
和
草圖如右
兩圖像由公共點時，方程有解，
，
故
的最小值為，………………………………………………13分
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