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湖北省襄樊市2009年3月高三調(diào)研統(tǒng)一測(cè)試

數(shù) 學(xué)(理科)

命題人：襄樊市教研室郭仁俊　　審定人：襄樊四中　尹春明

本試卷共4頁，全卷滿分150分．考試時(shí)間120分鐘。

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注意事項(xiàng)：

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題卷密封線內(nèi)，將考號(hào)最后兩位填在答題卷右下方座位號(hào)內(nèi)，同時(shí)把機(jī)讀卡上的項(xiàng)目填涂清楚，并認(rèn)真閱讀答題卷和機(jī)讀卡上的注意事項(xiàng)。

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把機(jī)讀卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。答在試題卷上無效。

3．將填空題和解答題用0.5毫米黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卷上每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷上無效。

4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將機(jī)讀卡和答題卷一并上交．

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)

1. 設(shè)a、b、c、d∈R，則復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件是
A．a(chǎn)d－bc = 0 B．a(chǎn)c－bd = 0 C．a(chǎn)c＋bd = 0 D．a(chǎn)d＋bc = 0

試題詳情

2. 的值為
A．0 B．1 C． D．

試題詳情

3.     將函數(shù)的反函數(shù)的圖象按向量a = (1，1)平移后得到函數(shù)g (x)的圖象，則g (x)的表達(dá)式為
A．                                       B．
C．                                         D．

試題詳情

4.     已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)圖象
A．關(guān)于直線對(duì)稱                                   B．關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱
C．關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱                                    D．關(guān)于直線對(duì)稱

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5. 兩個(gè)正方體M₁、M₂，棱長分別a、b，則對(duì)于正方體M₁、M₂有：棱長的比為a∶b，表面積的比為a²∶b²，體積比為a³∶b³．我們把滿足類似條件的幾何體稱為“相似體”，下列給出的幾何體中是“相似體”的是
A．兩個(gè)球 B．兩個(gè)長方體 C．兩個(gè)圓柱 D．兩個(gè)圓錐

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6.     設(shè)奇函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為
                                      A．(－1，0)∪(1，＋∞)                               B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)                             D．(－1，0)∪(0，1)

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7. 袋中有40個(gè)小球，其中紅色球16個(gè)，藍(lán)色球12個(gè)，白色球8個(gè)，黃色球4個(gè)，從中隨機(jī)抽取10個(gè)球作成一個(gè)樣本，則這個(gè)樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為
A． B． C． D．

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8.     如圖，直線MN與雙曲線的左右兩支分別交于M、N兩點(diǎn)，與雙曲線的右準(zhǔn)線交于P點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，若|FM| = 2|FN|，，則實(shí)數(shù)的取值為
A．                            B．1
C．2                              D．

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9. 設(shè)P表示平面圖形，m(P)是P表示的圖形面積．已知，，且，則下列恒成立的是
A． B． C． D．

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10. 函數(shù)的圖象大致是

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二．填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卷相應(yīng)位置上。)

11. 過點(diǎn)A(2，－3)，且與向量m = (4，－3)垂直的直線方程是　　．

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12. 從1到100的正整數(shù)中刪去所有2的倍數(shù)及3的倍數(shù)后，剩下數(shù)有　　個(gè)．

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13. 頂點(diǎn)在同一球面上的正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB = 1，AA₁ = ，則A、C兩點(diǎn)間的球面距離為　　．

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14. 假設(shè)甲、乙、丙三鎮(zhèn)兩兩之間的距離皆為20公里，兩條筆直的公路交于丁鎮(zhèn)，其中一條通過甲、乙兩鎮(zhèn)，另一條通過丙鎮(zhèn)．現(xiàn)在一比例精確的地圖上量得兩公路的夾角為45°，則丙、丁兩鎮(zhèn)間的距離為　　公里．

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15. 研究問題：“已知關(guān)于x的不等式的解集為(1，2)，解關(guān)于x的不等式”，有如下解法：
解：由，令，則，1)，
所以不等式的解集為(，1)．
參考上述解法，已知關(guān)于x的不等式的解集為(－2，－1)∪(2，3)，則關(guān)于x的不等式的解集為　　．

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三．解答題(本大題共6小題，滿分75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。)

16. (本大題滿分12分)
已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A(3，0)、B(0，3)、C()，．
(1)若，求角的值；
(2)若，求的值．

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17. (本大題滿分12分)
在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC = CD = 1．
(1)求證：平面ACD⊥平面ABC；
(2)求二面角C－AB－D的大�。�
(3)若直線BD與平面ACD所成的角為，求的取值范圍．

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18. (本大題滿分12分)
某商場(chǎng)舉行周末有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡在商場(chǎng)一次性購物滿500元的顧客可獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．抽獎(jiǎng)規(guī)則：自箱中一次摸出兩個(gè)球，確定顏色后放回，獎(jiǎng)金數(shù)如下表．

球的顏色

一紅一藍(lán)

兩藍(lán)

兩紅

獎(jiǎng)金數(shù)

100元

150元

200元

試題詳情

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19. (本大題滿分12分)
已知點(diǎn)A(－1，0)、B(1，0)和動(dòng)點(diǎn)M滿足：，且，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，過點(diǎn)B的直線交C于P、Q兩點(diǎn)．
(1)求曲線C的方程；
(2)求△APQ面積的最大值．

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20. (本大題滿分13分)
若存在常數(shù)k和b (k、b∈R)，使得函數(shù)和對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)x分別滿足：和，則稱直線l：為和的“隔離直線”．已知， (其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．
(1)求的極值；
(2)函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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21. (本大題滿分14分)
已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n是二項(xiàng)式展開式中含x奇次冪的系數(shù)和．
(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求；
(3)證明：．

試題詳情

一．選擇題：DCBBA DACCA

二．填空題：11．4x－3y－17 = 0　　12．33　　13．
　　　　　　14．　　15．

三．解答題：

16．(1)解：∵，                                  2分
∴由得：，即              4分
又∵，∴                                                                                    6分

(2)解：                                    8分
由得：，即          10分
兩邊平方得：，∴                                          12分

17．方法一

(1)證：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC 2分
又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC　　 4分

(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角 6分
∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小為45° 8分

(3)解：過點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，連結(jié)DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角 10分
設(shè)AB = a，在Rt△BHD中，，
∴
又，∴ 12分

方法二
(1)同方法一                                                                                                               4分
(2)解：設(shè)以過B點(diǎn)且∥CD的向量為x軸，為y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB = a，則A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)， = (1，1，0)， = (0，0，a)
平面ABC的法向量 = (1，0，0)
設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n = (x，y，z)，則

取n = (1，－1，0)                           6分

∴二面角C－AB－D的大小為45°                                                                           8分

(3)解： = (0，1，－a)， = (1，0，0)， = (1，1，0)
設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量是m = (x，y，z)，則
∴可取m = (0，a，1)，設(shè)直線BD與平面ACD所成角為，則向量、m的夾角為
故 10分
即
又，∴ 12分

18．解：該商場(chǎng)應(yīng)在箱中至少放入x個(gè)其它顏色的球，獲得獎(jiǎng)金數(shù)為，
則= 0，100，150，200
，，
， 8分
∴的分布列為

100

150

200

19．(1)解：設(shè)M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
∴
即 2分
因此點(diǎn)M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，a = 2，c = 1
∴曲線C的方程為． 4分

(2)解法一：設(shè)直線PQ方程為 (∈R)
由得：                                                            6分
顯然，方程①的，設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則有

                                                           8分
令，則t≥3，                                                             10分
由于函數(shù)在[3，＋∞)上是增函數(shù)，∴
故，即S≤3
∴△APQ的最大值為3                                                                                              12分

解法二：設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，易知S = 3
設(shè)直線PQ方程為
由得： ①                                         6分
顯然，方程①的△＞0，則
∴                                    8分
                                10分
　　　　
令，則，即S＜3

∴△APQ的最大值為3 12分

20．(1)解：∵，
∴ 2分
當(dāng)時(shí)，
∵當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；
∴當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)取極小值，其極小值為0． 4分

(2)解：由(1)可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，
因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個(gè)公共點(diǎn)．
設(shè)隔離直線的斜率為k，則直線方程為，即              6分
由，可得當(dāng)時(shí)恒成立
由得：                                                                              8分
下面證明當(dāng)時(shí)恒成立．
令，
則，                                                                           10分
當(dāng)時(shí)，．
∵當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞減；
∴當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為0．                                                        12分
從而，即恒成立．
∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．                                              13分

21．(1)解：記
令x = 1得：
令x =－1得：
兩式相減得：
∴ 2分
當(dāng)n≥2時(shí)，
當(dāng)n = 1時(shí)，，適合上式
∴ 4分

(2)解：
注意到 6分
令，
則
∴
故，即 8分

(3)解：
　　　 (n≥2)                                                                        10分
∴
　        12分
∵
∴                                                       14分

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