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若存在常數(shù)k和b .使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)x分別滿足:和.則稱直線l:為和的“隔離直線．已知. (其中e為自然對數(shù)的底數(shù))． (1)求的極值, (2)函數(shù)和是否存在隔離直線?若存在.求出此隔離直線方程,若不存在.請說明理由．【查看更多】

(本大題滿分13分)
若存在常數(shù)k和b (k、b∈R)，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)x分別滿足：和，則稱直線l：為和的“隔離直線”．已知， (其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．
(1)求的極值；
(2)函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

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一．選擇題：DCBBA DACCA

二．填空題：11．4x－3y－17 = 0　　12．33　　13．
　　　　　　14．　　15．

三．解答題：

16．(1)解：∵，                                  2分
∴由得：，即              4分
又∵，∴                                                                                    6分

(2)解：                                    8分
由得：，即          10分
兩邊平方得：，∴                                          12分

17．方法一

(1)證：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC 2分
又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC　　 4分

(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角 6分
∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小為45° 8分

(3)解：過點B作BH⊥AC，垂足為H，連結(jié)DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角 10分
設AB = a，在Rt△BHD中，，
∴
又，∴ 12分

方法二
(1)同方法一                                                                                                               4分
(2)解：設以過B點且∥CD的向量為x軸，為y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB = a，則A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)， = (1，1，0)， = (0，0，a)
平面ABC的法向量 = (1，0，0)
設平面ABD的一個法向量為n = (x，y，z)，則

取n = (1，－1，0)                           6分

∴二面角C－AB－D的大小為45°                                                                           8分

(3)解： = (0，1，－a)， = (1，0，0)， = (1，1，0)
設平面ACD的一個法向量是m = (x，y，z)，則
∴可取m = (0，a，1)，設直線BD與平面ACD所成角為，則向量、m的夾角為
故 10分
即
又，∴ 12分

18．解：該商場應在箱中至少放入x個其它顏色的球，獲得獎金數(shù)為，
則= 0，100，150，200
，，
， 8分
∴的分布列為

<ul id="sq6yu"></ul>

0

100

150

200

P

19．(1)解：設M (x，y)，在△MAB中，| AB | = 2，
∴
即 2分
因此點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，a = 2，c = 1
∴曲線C的方程為． 4分

(2)解法一：設直線PQ方程為 (∈R)
由得：                                                            6分
顯然，方程①的，設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則有

                                                           8分
令，則t≥3，                                                             10分
由于函數(shù)在[3，＋∞)上是增函數(shù)，∴
故，即S≤3
∴△APQ的最大值為3                                                                                              12分

解法二：設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則
當直線PQ的斜率不存在時，易知S = 3
設直線PQ方程為
由得： ①                                         6分
顯然，方程①的△＞0，則
∴                                    8分
                                10分
　　　　
令，則，即S＜3

∴△APQ的最大值為3 12分

20．(1)解：∵，
∴ 2分
當時，
∵當時，，此時函數(shù)遞減；
當時，，此時函數(shù)遞增；
∴當時，F(xiàn)(x)取極小值，其極小值為0． 4分

(2)解：由(1)可知函數(shù)和的圖象在處有公共點，
因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．
設隔離直線的斜率為k，則直線方程為，即              6分
由，可得當時恒成立
由得：                                                                              8分
下面證明當時恒成立．
令，
則，                                                                           10分
當時，．
∵當時，，此時函數(shù)遞增；
當時，，此時函數(shù)遞減；
∴當時，取極大值，其極大值為0．                                                        12分
從而，即恒成立．
∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．                                              13分

21．(1)解：記
令x = 1得：
令x =－1得：
兩式相減得：
∴ 2分
當n≥2時，
當n = 1時，，適合上式
∴ 4分

(2)解：
注意到 6分
令，
則
∴
故，即 8分

(3)解：
　　　 (n≥2)                                                                        10分
∴
　        12分
∵
∴                                                       14分

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