題目列表(包括答案和解析)
(本大題滿分14分)
已知數列{an}的前n項和Sn是二項式
展開式中含x奇次冪的系數和．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設
，求
；
(3)證明：
．
（本小題滿分14分）
已知數列
（1）計算x2，x3，x4的值；
（2）試比較xn與2的大小關系；
（3）設
，Sn為數列{an}前n項和，求證：當
.
，Sn為數列{an}前n項和，求證：當
.（本題滿分14分）
（理）已知數列{an}的前n項和
，且
=1，
.
（I）求數列{an}的通項公式；
（II）已知定理：“若函數f(x)在區間D上是凹函數，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，則有
< f’(x)”．若且函數y=xn+1在(0,+∞)上是凹函數，試判斷bn與bn+1的大小；
（III）求證：
≤bn<2.
（本題滿分14分）
（理）已知數列{an}的前n項和
，且
=1，
.（I）求數列{an}的通項公式；
（II）已知定理：“若函數f(x)在區間D上是凹函數，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，則有
< f’(x)”．若且函數y=xn+1在(0,+∞)上是凹函數，試判斷bn與bn+1的大小；
（III）求證：≤bn<2.
一．選擇題：DCBBA
二．填空題：11．4x－3y－17 = 0 12．33 13．
14．
15．
三．解答題：
16．(1)解：∵
，
2分
∴由
得：
，即
4分
又∵
，∴
6分
(2)解：
8分
由
得：
，即
10分
兩邊平方得：
，∴
12分
17．方法一
(1)證：∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC 2分
又∵CDÌ平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC 4分
(2)解：∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，故AB⊥BD
∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角
6分
∵在Rt△BCD中，BC = CD，∴∠CBD = 45°
即二面角C－AB－D的大小為45°
8分
(3)解：過點B作BH⊥AC，垂足為H，連結DH
∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角
10分
設AB = a，在Rt△BHD中，
，
∴
又
，∴
12分
方法二
(1)同方法一 4分
(2)解：設以過B點且∥CD的向量為x軸，
為y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB = a，則A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)，
= (1，1，0)，
= (0，0，a)
平面ABC的法向量
= (1，0，0)
設平面ABD的一個法向量為n = (x，y，z)，則
取n = (1，－1，0)
6分
∴二面角C－AB－D的大小為45° 8分
(3)解：
= (0，1，－a)，
= (1，0，0)，
= (1，1，0)
設平面ACD的一個法向量是m = (x，y，z)，則
∴可取m = (0，a，1)，設直線BD與平面ACD所成角為
，則向量、m的夾角為
故
10分
即
又，∴ 12分
18．解：該商場應在箱中至少放入x個其它顏色的球，獲得獎金數為
，
則= 0，100，150，200
，
，
，
8分
∴的分布列為
2分
． 4分
(
∈R)
得：
6分
，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有
8分
，則t≥3，
10分
在[3，＋∞)上是增函數，∴
，即S≤3
得：
① 6分
8分
10分
，則
，即S＜3
，
2分
時，
時，
，此時函數
遞減；
時，
，此時函數
和
的圖象在
處有公共點，
，即
6分
，可得
當
時恒成立
得：
8分
當
時恒成立．
，
， 10分
．
，此時函數
遞增；
，此時函數
，即
恒成立．
存在唯一的隔離直線
． 13分
2分
，適合上式
4分
6分
，
，即
8分
(n≥2) 10分
12分
14分