絕密★啟用前
2008年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）
數 學（理工農醫類）
本試卷共4面，滿分150分，考試時間120分鐘
★祝考試順利★
注意事項：
1. 答卷前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘巾在答題卡上指定位置。
2. 選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上，對應題目的答案標號涂寫，如寫改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，答在試題卷上無效。
3. 非選擇題用0.5毫米的黑色墨水簽字夂答在答題卡上每題對應的答題區域內，答在試題卷上無效。
4. 考試結束，請將本試題卷和答題卡一并上交。
一、選擇題：本次題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 設a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)?c=
A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11
2. 若非空集合A,B,C滿足A∪B=C，且B不是A的子集，則
A.“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件
B. “x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件
C. “x∈C”是“x∈A”的充分條件
D. “x∈C”是“x∈A”的充分條件也不是“x∈A”必要條件
3. 用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的休積為
A. B. C. D.
4. 函數f(x)=的定義域為
A.(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］ B.(-4,0) ∪(0,1)
C. ［-4,0］∪（0，1）］ D. ［－4，0∪（0，1）
5.將函數y=3sin（x-θ）的圖象F按向量（，3）平移得到圖象F′,若F′的一條對稱軸是直線x=,則θ的一個可能取值是
A. B. C. D.
6.將5名志愿者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數為
A.540 B.300 C.180 D.150
7.若f(x)=上是減函數，則b的取值范圍是
A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1）
8.已知m∈N*,a,b∈R，若,則a?b=
A．-m B．m C．-1 D．1
9.過點A（11，2）作圓的弦，其中弦長為整數的共有
A.16條 B.17條 C.32條 D.34條
10.如圖所示，“嫦娥一號”探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2＞a1c1;④＜.
其中正確式子的序號是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡相應位置上.
11.設z1=z1-z1(其中z1表示z1的共軛復數)，已知z2的實部是-1，則z2的虛部為 .
12．在△ABC中，三個角A，B，C的對邊邊長分別為a=3,b=4,c=6,則bc cosA+ca cosB+ab cosC的值為 .
13.已知函數f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x-6x+2,其中x∈R，a,b為常數，則方程f(ax+b)=0的解集為
.
14.已知函數f(x)=2x,等差數列{ax}的公差為2.若f(a2+a4+ab+a2+a1)=4,則
Log2[f(a1)?f(a2)?f(a)?…?f(a10)]= .
15.觀察下列等式：
……………………………………
可以推測，當x≥2（k∈N*）時，
ak-2= .
三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16.（本小題滿分12分）
已知函數f(t)=
（Ⅰ）將函數g(x)化簡成Asin(ωx+φ)+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；
（Ⅱ）求函數g(x)的值域.
17.（本小題滿分12分）
袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個（n=1,2,3,4）.現從袋中任取一球.ξ表示所取球的標號.
（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,試求a,b的值.
18.（本小題滿分12分）
如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥側面A1ABB1.
（Ⅰ）求證：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直線AC與平面A1BC所成的角為θ,二面角A1-BC-A的大小為φ的大小關系，并予以證明.
19.（本小題滿分13分）
如圖，在以點O為圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，OD⊥AB，P是半圓弧上一點，
∠POB=30°，曲線C是滿足||MA|-|MB||為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P.
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程；
（Ⅱ）設過點D的直線l與曲線C相交于不同的兩點E、F.
若△OEF的面積不小于2，求直線l斜率的取值范圍.
20.(本小題滿分12分)
水庫的蓄水量隨時間而變化，現用t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于t的近似函數關系式為
V（t）=
（Ⅰ）該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期.以i-1＜t＜t表示第1月份（i=1,2,…,12）,同一年內哪幾個月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年內該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計算）.
21.(本小題滿分14分)
已知數列{an}和{bn}滿足：a1=λ,an+1=其中λ為實數，n為正整數.
（Ⅰ）對任意實數λ，證明數列{an}不是等比數列；
（Ⅱ）試判斷數列{bn}是否為等比數列，并證明你的結論；
（Ⅲ）設0＜a＜b,Sn為數列{bn}的前n項和.是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有
a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由.
2008年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）
數學（理工農醫類）
一、選擇題：本次題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
5. 設,,則
A. B. C. D.
解：，，選C
6. 若非空集合滿足，且不是的子集，則
A. “”是“”的充分條件但不是必要條件
B. “”是“”的必要條件但不是充分條件
C. “”是“”的充要條件
D. “”既不是“”的充分條件也不是“”必要條件
解：,但是, 所以B正確。
另外畫出韋恩圖，也能判斷B選項正確
7. 用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為
A. B. C. D.
解：截面面積為截面圓半徑為1，又與球心距離為球的半徑是，
所以根據球的體積公式知，故B為正確答案．
8. 函數的定義域為
A. B.
C. D.
解：函數的定義域必須滿足條件：
5.將函數的圖象F按向量平移得到圖象,若的一條對稱軸是直線,則的一個可能取值是
A. B. C. D.
解： 平移得到圖象的解析式為,
對稱軸方程，
把帶入得，令，
6.將5名志愿者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數為 A. 540 B. 300 C. 180 D. 150
解：將５分成滿足題意的３份有１，１，３與２，２，１兩種，
所以共有 種方案，故Ｄ正確．
7.若上是減函數，則的取值范圍是
A. B. C. D.
解：由題意可知，在上恒成立，
即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ為正確答案．
8.已知,，若,則
A． B． C． D．
解：
另外易知由洛必達法則，所以
9.過點作圓的弦，其中弦長為整數的共有
A. 16條 B. 17條 C. 32條 D. 34條
解：圓的標準方程是：，圓心，半徑
過點的最短的弦長為10，最長的弦長為26,（分別只有一條）
還有長度為的各2條，所以共有弦長為整數的條。
10.如圖所示，“嫦娥一號”探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點軌進入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛星在點第二次變軌進入仍以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛星在點第三次變軌進入以為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
①; ②; ③; ④＜.
其中正確式子的序號是
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
解：由焦點到頂點的距離可知②正確，由橢圓的離心率知③正確，故應選Ｂ．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡相應位置上.
11.設(其中表示z1的共軛復數)，已知z2的實部是，則z2的虛部為 .
解：設，由復數相等
12．在△中，三個角的對邊邊長分別為,則的值為 .
解：由余弦定理，原式
13.已知函數,,其中,為常數，則方程的解集為 .
解：由題意知所以
，所以解集為。
14.已知函數,等差數列的公差為.若,則
.
解：依題意，所以
15.觀察下列等式：
……………………………………
可以推測，當≥2（）時， .
解：由觀察可知當，每一個式子的第三項的系數是成等差數列的，所以，
第四項均為零，所以。
三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16.（本小題滿分12分）
已知函數
（Ⅰ）將函數化簡成（，，）的形式；
（Ⅱ）求函數的值域.
解.本小題主要考查函數的定義域、值域和三角函數的性質等基本知識，考查三角恒等變換、代數式的化簡變形和運算能力.（滿分12分）
解：（Ⅰ）
＝
（Ⅱ）由得
在上為減函數，在上為增函數，
又（當），
即
故g(x)的值域為
17.（本小題滿分12分）
袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上號的有個（=1,2,3,4）.現從袋中任取一球.表示所取球的標號.
（Ⅰ）求的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若, ,,試求a,b的值.
解：本題考查概率、隨機變量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的運算能力.（滿分12分）
解：（Ⅰ）的分布列為：
0
1
2
3
4
P
∴
（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以
當a=2時，由1＝2×1.5+b,得b=-2;
當a=-2時，由1＝-2×1.5+b，得b=4.
∴或即為所求.
18.（本小題滿分12分）
如圖，在直三棱柱中，平面側面.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關系，并予以證明.
解：本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關系等有關知識，同時考查空間想象能力和推理能力.（滿分12分）
（Ⅰ）證明：如右圖，過點A在平面A1ABB1內作
AD⊥A1B于D，則
由平面A1BC⊥側面A1ABB1,且平面A1BC側面A1ABB1=A1B,得
AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，
所以AD⊥BC.
因為三棱柱ABC―A1B1C1是直三棱柱，
則AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC.
又AA1AD=A,從而BC⊥側面A1ABB1，
又AB側面A1ABB1，故AB⊥BC.
（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A1BC所成的角，
是二面角A1―BC―A的平面角，即
于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，
由AB＜AC，得又所以
解法2：由（Ⅰ）知，以點B為坐標原點，以BC、BA、BB1所在的直線分
別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AA1=a,AC=b,
AB=c,則 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是
設平面A1BC的一個法向量為n=(x,y,z)，則
由得
可取n=(0,-a,c)，于是與n的夾角為銳角，則與互為余角.
所以
于是由c＜b，得
即又所以
19.（本小題滿分13分）
如圖，在以點為圓心，為直徑的半圓中，，是半圓弧上一點，
，曲線是滿足為定值的動點的軌跡，且曲線過點.
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求曲線的方程；
（Ⅱ）設過點的直線l與曲線相交于不同的兩點、.
若△的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.
解：本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合解題能力.（滿分13分）
（Ⅰ）解法1：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得
｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.
∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.
設實平軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，
則c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴曲線C的方程為.
解法2：同解法1建立平面直角坐標系，則依題意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜
｜AB｜＝4.
∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.
設雙曲線的方程為＞0，b＞0）.
解得a2=b2=2,
∴曲線C的方程為
(Ⅱ)解法1：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.
∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，
②
設E（x，y），F(x2,y2)，則由①式得x1+x2=,于是
｜EF｜＝
＝
而原點O到直線l的距離d＝，
∴S△DEF=
若△OEF面積不小于2,即S△OEF，則有
③
綜合②、③知，直線l的斜率的取值范圍為
解法2：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，
得（1-k2）x2-4kx-6=0.
∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴.
. ②
設E(x1,y1),F(x2,y2),則由①式得
｜x1-x2｜= ③
當E、F在同一去上時（如圖1所示），
S△OEF＝
當E、F在不同支上時（如圖2所示）.
S△ODE=
綜上得S△OEF＝于是
由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=
若△OEF面積不小于2
④
綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為
20.(本小題滿分12分)
水庫的蓄水量隨時間而變化，現用表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于的近似函數關系式為
（Ⅰ）該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期.以表示第1月份（）,同一年內哪幾個月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年內該水庫的最大蓄水量（取計算）.
解：本小題主要考查函數、導數和不等式等基本知識，考查用導數求最值和綜合運用數學知識解決實際問題能力.（滿分12分）
（Ⅰ）①當時，，化簡得,
解得，或，又，故.
②當時，，化簡得,
解得，又,故.
綜合得,或；
故知枯水期為1月，2月，3月，11月，12月共5個月.
(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）內達到.
由V′（t）=
令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).
當t變化時，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：
t
(4,8)
8
(8,10)
V′(t)
+
0
-
V(t)
極大值
由上表，V(t)在t＝8時取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(億立方米).
故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米
21.(本小題滿分14分)
已知數列和滿足：,其中為實數，為正整數.
（Ⅰ）對任意實數，證明數列不是等比數列；
（Ⅱ）試判斷數列是否為等比數列，并證明你的結論；
（Ⅲ）設,為數列的前項和.是否存在實數，使得對任意正整數，都有
?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.
解：本小題主要考查等比數列的定義、數列求和、不等式等基礎知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理認證能力，（滿分14分）
（Ⅰ）證明：假設存在一個實數λ，使｛an｝是等比數列，則有a22=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比數列.
(Ⅱ)解：因為bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n?（an-3n+21）=-bn
又b1x-(λ+18),所以
當λ＝－18，bn=0(n∈N+),此時｛bn｝不是等比數列：
當λ≠－18時，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).
故當λ≠-18時，數列｛bn｝是以－（λ＋18）為首項，－為公比的等比數列.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當λ=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.
∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）?（－）n-1，于是可得
Sn=-
要使a<Sn<b對任意正整數n成立，
即a<-(λ+18)?［1－（－）n］〈b(n∈N+)
①
當n為正奇數時，1<f(n)
∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,
于是，由①式得a<-(λ+18),<
當a<b3a時，由－b-18=-3a-18，不存在實數滿足題目要求；
當b>3a存在實數λ，使得對任意正整數n,都有a<Sn<b,且λ的取值范圍是（－b-18,-3a-18）
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