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一個完整的數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程是：計算猜想證明，其中的證明有兩個總體思路：一是證明命題本身稱直接證明，二是證明與該命題等價的另一個命題，稱間接證明。今天主要說明直接證明

[思路一]由已知條件、定理、公理等推導結論，這種證明思路稱綜合法，，符號解答略

[思路二]由結論找成立的條件，這種證明思路稱分析法，符號，格式為：要證AB₁B₂B₃……B_n   ∵B_n成立  ∴A成立，解答略

說明1：分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學解題中，分析法是從數(shù)學題的待證結論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數(shù)學題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。

說明2：綜合法的實質是由因導果，分析法的實質是執(zhí)果索因

說明3：分析法中僅僅要求只要證的能導出要證的，至于要證的能否導出只要證的不作要求，每一步都能互導時的分析法又稱逆證法，只要有一步不能互相導出，則只能是分析法，不是逆證法。（如要證a+b<c+da<b,c<d）

練習：教材P81

[補充習題]

1、數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，已知a₁=1,a_n+1=S_n，求證數(shù)列{}是等比數(shù)列，且S_n+1=4a_n

2、設a、b、x、y∈R且a²+b²=1,x²+y²=1，求證|ax+by|≤1

[解答略]

教學反思與作業(yè)情況：

第二課時：間接證明

[教學目標]

[教學重點]：了解反證法的思考過程、特點

[教學難點]反證法的思考過程、特點

[教學過程]

證明略

說明1：這種先假設結論不正確，導出矛盾，從而斷定假設錯誤結論正確的方法稱反證法。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。

說明2：反證法最初的由來是根據(jù)“眼見為實”的爭論而來的：原來人們對“眼見為實，耳聽為虛”是深信不疑的，有人對之提出疑義，他的觀點是“誰見過自己的曾祖父？”，如果沒有，則無祖父、父親，進而沒有自己！出現(xiàn)矛盾的結果，這就是反證法最初的雛形，俗稱歸謬論。

二、應用

例1、求證：正弦函數(shù)沒有比2π小的正周期（證明略，見教材例1）

說明1：反證法適用的范圍：一般情況下，結論的反面比原結論更具體、更簡單的命題，如“不是”、“不可能”、“至多（少）若干個”、“存在”、“唯一”等易用反證法；已知條件很少或由已知推得的結論很少的命題易用反證法；關系不明確或難于直接證明的命題易用反證法。學生探究過程：綜合法與分析法。

說明2：反證法不是證明原命題，而是證明另一問題，因此是一種間接證法。

說明3：反證法導出的矛盾導出是與已知法則相矛盾，這種矛盾可分為三類：與已知條件矛盾、與已知的定義（定理、公理）矛盾、與反設得到的結論及臨時假設自相矛盾。

練習：教材P83---3,4

例2、定義在實數(shù)集上的函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸至多有一個公共點（證明略）

說明1：反證法應用是注意，反設必須正確。沒有正確的反設，一切推理都是沒有價值的。正確的反設必須咬文嚼字，思考原命題結論的方方面面，不遺漏任何一種情形。一般根據(jù)命題否定的原則，常進行“且與或”、“任意與存在”、“是與非”的互換，其中常用的容易混淆的詞語有

原結論詞

反設詞

原結論詞

反設詞

是

不是

都是

不都是

并且

或者

如果…則…

既…且…

有

沒有

能

不能

存在

不存在

成立

不成立

有限

無窮

大（小）于

不大（小）于

至少有一個

一個也沒有

至多有一個

至少有兩個

至少有n個

至多有n-1個

至多有n個

至少有n+1個

只有一個

沒有或至少有兩個

都不是

至少有一個是

說明2：推理過程必須用反設且推理必須正確。沒有用反設的推理不是反證法推理

練習：設，求證

證明：假設，則有，從而

  因為，所以，這與題設條件矛盾，所以，原不等式成立。

例3、二次函數(shù)f(x)=x²+bx+c,f(sinα)≥0與f(2+cosβ)≤0恒成立,求證：⑴b+c=-1且c≥3。⑵f_max(sinα)=8,求b,c的值

解：⑴由已知f(1)=1+b+c=0,b+c=-1,又f(3)=9-3(1+c)+c=6-2c≤0，c≥3

⑵由(1)，f(x)=x²-(1+c)x+c,設sinα=t∈[-1,1],變?yōu)槎�次函�?shù)f(t)在[-1，1]上的最值問題，有

或，第一組無解，第二組的解為c=3,從而c=3,b=-4

    說明：這里f(sinα)不是代入，而是將sinα看作一個量t，隨f(t)問題的解決，原問題也得以解決。這種拓寬條件變?yōu)榱硪粏栴}，隨另一問題解決，原問題也得以解決的方法稱反演法，也是間接證明的一種方法。

2、反證法證明題的步驟：反設――推理歸謬――結論

[補充習題]

1、用反證法證明“若x²+5x+6=0，則x=-2或x=-3”時，應假設_____________

2、棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC,且AB=BC,CH⊥平面PAB于H。求證：H不是三角形PAB的垂心

3、拋物線C:y=-1上不存在關于直線L:x+y=0對稱的兩點

4、設數(shù)列{a_n}、{b_n}是公比不相等的等比數(shù)列，求證數(shù)列{ a_n+b_n}不是等比數(shù)列

[補充習題答案]

1、假設x≠-2且x≠-3

其他略

[反饋情況]