2009年北京市朝陽區高三統一練習（一）
數學（文史類） 2009.4
（考試時間120分鐘 滿分150分）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分
第I卷（選擇題 共40分）
注意事項：
1．答第I卷前，考生務必將自己的姓名、考試科目涂寫在答題卡上。考試結束時，將試題卷和答題卡一并交回。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，不能答在試題卷上。
第Ⅰ卷 (選擇題共40分)
得分
評卷人
一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題的
4個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1．已知集合
，
等于（ ）
A．P B．{1,2} C．{2,3} D．{1,2,3}
2．下列函數中，在區間
上是增函數的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在△
中，角
所對的邊分別為
.若角
，則角
等于（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
4.已知條件
，條件
：直線
與圓
相切，則
的（ ）
A.充分非必要條件 B.必要非充分條件
C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件
5. 用一平面去截體積為
的球，所得截面的面積為
，則球心到截面的距離為（
）
A. 
B.
C.
D.
6．從6名女生，4名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學生組成課外小組，則不同的抽取方法種數為 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．在等差數列
中，設
為其前
項和，已知
，則
等于 （ ）
A.
B.
C.
D.
8．蔬菜價格隨著季節的變化而有所變化. 根據對農貿市場蔬菜價格的調查得知，購買
元，購買
元，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
大小不確定
第II卷（非選擇題 共110分）
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
總分
得分
得分
評卷人
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.將答案填在題中
9.若
，則
等于 .
10.若直線
與直線
平行，則m的值為 .
11. 若
展開式中的所有二項式系數和為512，則
；該展開式中的常數項為 .
12．已知向量
．若向量
，則實數
的值是 ；
13．過拋物線
的焦點
的直線
，交拋物線于
兩點，交其準線于
點，若
，則直線的斜率為
.
14.對任意的正整數
、
，定義
同時滿足下列條件：
①
；②若
，
；③
，
則
的值是 ；
的表達式為
（用含的代數式表示）.
得分
評卷人
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（本小題滿分13分）
已知函數
．
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）求函數的單調增區間．
得分
評卷人
16． （本小題滿分13分）
在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較．在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑．現在可供選用的不同添加劑有6種，其中芳香度為1的添加劑1種，芳香度為2的添加劑2種，芳香度為3的添加劑3種．根據試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗．
（Ⅰ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3的概率；
（Ⅱ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數的概率.
得分
評卷人
17． （本小題滿分13分）
如圖，直三棱柱
的側棱
，底面三角形
中，
，
，
是
的中點.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小.
得分
評卷人
18．（本小題滿分14分）
已知函數
．
（Ⅰ）若在
處取得極值，求實數
的值；
（Ⅱ）求的單調區間；
（Ⅲ）求函數在閉區間
的最小值.
得分
評卷人
19．（本小題滿分13分）
已知
的三邊長
成等差數列，若點的坐標分別為
．
（Ⅰ）求頂點的軌跡
的方程；
（Ⅱ）線段
的延長線交頂點C的軌跡于點，當
且點在
軸上方時，求線段
垂直平
分線的方程．
得分
評卷人
20．（本小題滿分14分）
已知數列
的前項和為
，且
，其中
．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設數列
滿足
，
為的前項和，求證：
．
北京市朝陽區高三統一練習㈠
數學文科答案 2009.4
一、選擇題:
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
D
A
C
A
A
A
二、填空題:
9. 
;
10. 1和-2;
11. 9, 
;
12. 
；
13． 
; 14. 6, 
三、解答題:
15． 解: （Ⅰ）
，
所以函數的最小正周期為2
．
……………………………………8分
（Ⅱ）令 
，得
.
故函數的單調增區間為
．
…………13分
16． 解：（Ⅰ）設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為
答：所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3的概率是
………5分
（Ⅱ）設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數”為事件B，
兩種添加劑的芳香度之和為偶數有三種可能：芳香度為1和3，芳香度為2和2，芳香度為3和3，其中芳香度為1和3的概率為
芳香度為2和2的概率為
芳香度為3和3的概率為
所以
答：所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數的概率是
……13分
17． 解法一：
（Ⅰ）證明：因為
，
是的中點，所以
.
由已知，三棱柱是直三棱柱，
所以平面
平面
.
所以
平面.
又因為
平面,
所以.…………6分
（Ⅱ）解：由（1）知平面.
過作
，垂足為
,連結
.
由三垂線定理可知
，
所以
是二面角
的平面角.
由已知可求得
，
, 所以
.
所以二面角的大小為
.
由于二面角與二面角的大小互補，
所以二面角的大小為
.…………………………13分
解法二：
以
的中點
為原點，先證明
平面
，建立空間直角坐標系（如圖）.由已知可得
、
、
、
、
、
.
（Ⅰ）證明：
，
.
因為
，所以
.…………6分
（Ⅱ）解：
.
設平面
的一個法向量為
，
由
得
解得
所以
.
又知，
平面，所以
為平面的法向量.
因為
,
所以
由圖可知，二面角大于90º，
所以二面角的大小為
.…………………………13分
18． 解：（Ⅰ） 
，
因為在處取得極值，所以
，解得
．………………2分
（Ⅱ）
，
（1）當
時，
，則在
上為增函數；
（2）當
，即
時，由
得
或
，所以的單調增區間為
和
;由
得
，所以的單調減區間為
；
（3）當
即
時，由得
或
，所以的單調增區間為
和
；由
，得
，所以的 單調減區間為
.
綜上所述，當
時，的單調增區間為；
當時，的單調增區間為和，的單調減區間為; 當時，的單調增區間為和，的單調減區間為.
……………………………………………………8分
（Ⅲ）（1）當
即
時，由（Ⅱ）可知，在上單調遞增，
所以的最小值為
；
（2）當
，即
時，由（Ⅱ）可知，在
上單調遞減，在
上單調遞增，所以的最小值為
；
（3）當
即
時，由（Ⅱ）可知，在上單調遞減，所以的最小值為
.
綜上所述，當時，的最小值為；時，的最小值為；時，的最小值為. ………………14分
19．解：（Ⅰ）因為成等差數列，點的坐標分別為
所以
，且
，
由橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的
橢圓（去掉長軸的端點），
所以
．
故頂點的軌跡方程為
．…………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
.因為
，
，
所以
.則
.
所以直線的斜率為
.
于是直線方程為
.
由
得
．設
兩點坐標分別為
則
，
．
線段中點的坐標為
,
故垂直平分線的方程為
，即為
.……13分
20. 解：（Ⅰ）已知式即
，故
．
由條件知
，所以
．
由于
，且
，故
．
于是 
，
，
所以 
． ……………………………………………………5分
（Ⅱ）由，得
，
故
．
從而 
．
因此
．
設
，
則
，
故
，
注意到
，所以
．
特別地
，從而
．
所以．
…………………………………14分
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