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1．設集合A=，則為    

       A．    B．    C．    D．

2．兩個圓的公切線有且僅有：                     

       （A）1條      （B）2條      （C）3條      （D）4條

3．如圖是一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖，已知主視圖、左視圖所對應的三角形皆為邊長為2的正三角形，俯視圖對應的四邊形為正方形，那么這個幾何體的表面積為：   

A．       B．    C．    D．

4．曲線關于直線對稱的曲線方程是：

A.      B.       C.        D. 

5．已知向量的夾角為，且在中，，則角的值是：

A.             B.             C.               D. 

6．8．一個算法的程序框圖如下圖所示，若該程序輸出的結果為，則判斷框中應填入的條件是

A.             B.           C.           D.

7．定義在上的函數滿足，則“為偶函數”是“2為函數的一個周期”的（   ）條件

       A．充分不必要   B．必要不充分   C．充要   D．既不充分有不必要

8．已知雙曲線的左，右焦點分別為,點P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為                    

                                       （A）          （B）           （C）          （D）

第二部分 非選擇題（共110分）

9．已知等差數列的前三項依次為1，，則數列的通項公式是=__________．

10．若復數（，為虛數單位）是純虛數,則實數的值為                                                  

 11．在約束條件下，目標函數的最大值為_________.  

 12．如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為                                   

▲選做題:在下面三道小題中選做兩題,三題都選的只計算前兩題的得分.

13．（坐標系與參數方程選做題） 已知圓的極坐標方程為，則該圓的圓心到直線 的距離是                  .

14．（不等式選講選做題）已知函數 那么不等式的解集為                     .   

15．（幾何證明選講選做題） 如圖：PA與圓O相切于A，

PCB為圓O的割線，并且不過圓心O，已知∠BPA=，

PA=，PC=1，則圓O的半徑等于                ．

16．（本小題滿分12分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知a+b=5，c =，且

(1) 求角C的大小；    （2）求△ABC的面積.

17．（本小題共14分）如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為點在邊所在直線上．

18.（本小題滿分12分）

    四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

    1）求證AB⊥面VAD；

    2）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小．

19．（本小題滿分12分）設A、B是雙曲線上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點．

       （I）求直線AB的方程

       （II）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

20．（本小題滿分12分）

  已知是函數的一個極值點,其中.

（Ⅰ）求m與n的關系表達式;

（Ⅱ）求的單調區間；

（Ⅲ）當時,函數的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m,求m的取值范圍

21．(本小題滿分14分) 已知數列{a_n}滿足a₁＝5，a₂＝5，a_n＋1＝a_n＋6a_n－1(n≥2)．

（1）求證：{a_n＋1＋2a_n}是等比數列；

（2）求數列{a_n}的通項公式；

（3）設3ⁿb_n＝n(3ⁿ－a_n)，且|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＜m對于n∈N^＊恒成立，求m的取值范圍．

東里中學2008―2009第二學期第一次考試

數學答題卡(理科)

注意事項：⒈ 答題卷共4頁，用鋼筆或黑色（藍色）簽字筆直接答在試題卷中。

⒉ 答卷前將密封線內的項目填寫清楚。

題號

一

二

三

總分

16

17

18

19

20

21

分數

1             2              3             4            

[A] [B] [C] [D]  [A] [B] [C] [D]  [A] [B] [C] [D]  [A] [B] [C] [D] 

       5             6              7             8          

[A] [B] [C] [D]  [A] [B] [C] [D]  [A] [B] [C] [D]  [A] [B] [C] [D] 

9．______   10.____      11. ________    12.             

三選二：13.__             14.                  15.       

17（本小題滿分14分）

18（本小題滿分12分）

19（本小題滿分14分）

20（本小題滿分14分）

21（本小題滿分14分）

汕頭市東里中學2008―2009年第二學期第一次考試

9． __  10．  -6    11．2   12．  13．14．     15．7

解析：由圓的性質PA=PC?PB，得，PB=12，連接OA并反向延長交圓于點E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,DB=8,J記圓的半徑為R,由于ED?DA=CD?DB因此，(２R－２) ?2=3?8,解得R=7

 16． (1) 解：∵A+B+C=180° 由

  …………1分

    ∴   ………………3分

    整理，得   …………4分 解 得：   ……5分

    ∵  ∴C=60°   ………………6分

（2）解：由余弦定理得：c²=a²+b²－2abcosC，即7=a²+b²－ab  …………7分

∴   ………………8分  由條件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分     

……10分∴   …………12分

17．解：（I）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，

所以直線的斜率為．……（2分）又因為點在直線上，

所以邊所在直線的方程為．即．…………（4分）

（II）由解得點的坐標為，…………（6分）

因為矩形兩條對角線的交點為．所以為矩形外接圓的圓心．

又半徑．矩形外接圓的方程為．……（9分）

（III）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，

所以，即．………………（11分）

故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支．

因為實半軸長，半焦距．所以虛半軸長．

從而動圓的圓心的軌跡方程為．………………（14分）

18．證法一：（1）由于面VAD是正三角形，設AD的中點為E，則VE⊥AD，…………（1分）

而面VAD⊥底面ABCD，而面VAD底面ABCD平面，則VE⊥AB…………（4分）

ABCD是正方形，則AB⊥AD，故AB⊥面VAD……（6分）

證明二：（Ⅰ）作AD的中點O，則VO⊥底面ABCD．…………1分

建立如圖空間直角坐標系，并設正方形邊長為，………2分

則A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），

∴……3分

由…………4分

……5分

又AB∩AV=A  ∴AB⊥平面VAD…………………………6分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量……………………7分

設是面VDB的法向量，則

……9分

∴，……………11分

又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為……12分

19．解：（I）依題意，可設直線AB的方程為 y=k(x－1)＋2，

代入  ，整理得

                                                               ①

記A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，x₁，x₂則是方程①的兩個不同的根，所以2－k²≠0，且

，

由N(1，2)是AB的中點得

，

∴ k(2－k)=2－k²，

解得k=1，所以直線AB的方程為

y=x＋1

（II）將k=1代入方程①得x²－2x－3=0

解出  x₁=－1，x₂=3

由 y=x＋1得 y₁=0，y₂=4。

即A、B的坐標分別為(－1，0)和(3，4)。

由CD垂直平分AB，得直線CD的方程為

y=－(x－1)＋2，

即 y=3－x。

代入雙曲線方程，整理得 x²＋6x－11=0。                                                       ②

記C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)，以及CD的中點為M(x₀，y₀)，則x₃，x₄是方程②的兩個根。所以x₃＋x₄=－6，x₃x₄=－11。

從而

∴

又

即A、B、C、D四點到點M的距離相等，所以A、B、C、D四點共圓。

20．

（Ⅰ）解：.

因為是的一個極值點,所以,即.

所以

（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知

 當時,有,當變化時與的變化如下表:

1

<0

0

>0

0

<0

單調遞減

極小值

單調遞增

極大值

單調遞減

由上表知,當時,在單調遞減,在單調遞增,　在單調遞減

（Ⅲ）解法一:由已知,得,即.

.

.

即.               （*）

設,其函數圖象的開口向上.

由題意(*)式恒成立,

                  又.

即的取值范圍是

解法二：由已知,得，即，

        . .          (*)

              時. (*)式化為怛成立..

              時.

                        (*)式化為 ．

令,則,記 ,

則在區間是單調增函數

．

由(*)式恒成立,必有又．

．

綜上、知

21．(本小題滿分14分) 已知數列{a_n}滿足a₁＝5，a₂＝5，a_n＋1＝a_n＋6a_n－1(n≥2)．

（1）求證：{a_n＋1＋2a_n}是等比數列；

（2）求數列{a_n}的通項公式；

（3）設3ⁿb_n＝n(3ⁿ－a_n)，且|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＜m對于n∈N^＊恒成立，

求m的取值范圍．

20．（本小題滿分14分）

（1）由a_n＋1＝a_n＋6a_n－1，a_n＋1＋2a_n＝3(a_n＋2a_n－1) (n≥2)

　　　　　　∵a₁＝5，a₂＝5　　∴a₂＋2a₁＝15

故數列{a_n＋1＋2a_n}是以15為首項，3為公比的等比數列………………5分

　　　　（2）由（1）得a_n＋1＋2a_n＝5?3ⁿ

由待定系數法可得(a_n＋1－3^n＋1)＝－2(a_n－3ⁿ)

　　　　　　即a_n－3ⁿ＝2(－2)^n－1

故a_n＝3ⁿ＋2(－2)^n－1＝3ⁿ－(－2)ⁿ…………………………………………10分

　　　　（3）由3ⁿb_n＝n(3ⁿ－a_n)＝n[3ⁿ－3ⁿ＋(－2)ⁿ]＝n(－2)ⁿ，∴b_n＝n(－)ⁿ

             令S_n＝|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＝＋2()²＋3()³＋…＋n()ⁿ

 　　　　　　　S_n＝()²＋2()³＋…＋(n－1)()ⁿ＋n()^n＋1

…………12分

得S_n＝＋()²＋()³＋…＋()ⁿ－n()ⁿ⁺¹

＝－n()ⁿ⁺¹＝2[1－()ⁿ]－n()ⁿ⁺¹

∴ S_n＝6[1－()ⁿ]－3n()ⁿ⁺¹＜6

要使得|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＜m對于n∈N^＊恒成立

只須m≥6………………………………………………………14分