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1（2008年廣東卷2）.記等差數列的前項和為，若，，則（    ）

A．16      B．24      C．36      D．48

〖解析〗，，故．

〖答案〗D．

2（2008年浙江卷6）.已知是等比數列，，則=（    ）

（A）16（）                     （B）16（）        

（C）（）                    （D）（）

〖解析〗由，解得，

      數列仍是等比數列：其首項是公比為，

所以．

〖答案〗C．

3（2007年天津理8）．設等差數列的公差不為0，．若是與的等比中項，則（　　）

Ａ．2            Ｂ．4            Ｃ．6            Ｄ．8

〖解析〗是與的等比中項，則_，

又，則，（舍負）．

〖答案〗B．

4（2008年江蘇卷10）.將全體正整數排成一個三角形數陣：

1

2   3

4   5   6

7   8   9  10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的規律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3 個數為         ．

〖解析〗前n－1 行共有正整數1＋2＋…＋（n－1）個，即個，因此第n 行第3 個數是全體正整數中第＋3個，即為．

〖答案〗．

5（2007年浙江文19) .已知數列{}中的相鄰兩項、是關于x的方程

     的兩個根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．

    (I)求及 (n≥4)(不必證明)；

    (Ⅱ)求數列{}的前2n項和S_2n．

〖解析〗 (I)方程的兩個根為．

當k＝1時，，所以；

當k＝2時，，所以；當k＝3時，，所以；

當k＝4時，，所以；

因為n≥4時，，所以

（Ⅱ）

＝．

6（2007年山東理17）.設數列滿足，．

（Ⅰ）求數列的通項；

（Ⅱ）設，求數列的前項和．

〖解析〗(I)

，

．

驗證時也滿足上式，．

(II) ， ，

，

則，

          ，所以．

7（2008年安徽卷21）．設數列滿足為實數

（Ⅰ）證明：對任意成立的充分必要條件是；

（Ⅱ）設，證明：;

（Ⅲ）設，證明：

〖解析〗（Ⅰ）必要性 ： ，

                 又  ，即

充分性 ：設 ，對用數學歸納法證明

        當時，.假設

        則，且

，由數學歸納法知對所有成立

    （Ⅱ） 設 ，當時，，結論成立

         當 時，

          ,由（1）知，所以  且   

（Ⅲ）設 ，當時，，結論成立

 當時，由（2）知

 ．

1（天津市漢沽一中2009屆月考文7）．已知是等差數列，，，則該數列前10項和等于（    ）

A．64              B．100              C．110              D．120

〖解析〗設公差為，則由已知得，

．

〖答案〗B．

2（遼寧省部分重點中學協作體2008年高考模擬）．設等差數列的前n項和為，則（    ）

A．18             B．17             C．16             D．15

〖解析〗等差數列中，公差，．〖答案〗A.

3（寧波市2008學年度第一學期期末試卷10）．如圖，一只青蛙在圓周上標有數字的五個點上跳，若它停在奇數點上，則下一次沿順時針方向跳兩個點；若停在偶數點上，則下一次沿逆時針方向跳一個點，若青蛙從這點開始跳，則經2009次跳后它停在的點所對應的數為（     ）

A．          B．         C．        D．

〖解析〗5―2―1―3―5，周期為4，2009=4×502+1，經過2009次跳后它停在的點所對應的數為2．

〖答案〗B．

4（2008~2009學年福建高考樣卷?理）．已知等比數列中，則其前3項的和的取值范圍是（    ）

A．　 Ｂ．　  Ｃ．    Ｄ．

〖解析〗設公比為，，由或，所以取值范圍為．

〖答案〗D．

5（2008~2009學年福州質檢?理）．，則               

〖解析〗

．

〖答案〗2236．

6（溫州十校2008學年度第一學期期中高三數學試題理）.已知數列的前n項的和滿足,則=         .

〖解析〗由條件得：， ，則，時，．

〖答案〗．      

7（浙江省杭州市2009年第一次高考科目教學質量檢測數學試題卷理科）.數列中，，（是不為零的常數，），且成等比數列．

（1）求的值；

（2）求的通項公式；

（3）求數列的前項之和．

〖解析〗（1），，，

因為，，成等比數列，

所以，                                  

解得或．                                       

∵c≠0，∴．                                        

（2）當時，由于

，，，

所以．              

又，，故．

當時，上式也成立，

所以．                             

（3）令                            

……①

……②

①-②得：                                 

8(一中2008-2009月考理18）．已知數列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3….

（1）令求證數列是等比數列;

（2）求數列的通項；

 ⑶ 設的前n項和,是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由．

〖解析〗（I）由已知得 

又

是以為首項，以為公比的等比數列.

（II）由（I）知，

將以上各式相加得：

（III）解法一：

存在，使數列是等差數列.

數列是等差數列的充要條件是、是常數

即

又

當且僅當，即時，數列為等差數列.

解法二：

存在，使數列是等差數列.

由（I）、（II）知，

又

當且僅當時，數列是等差數列．

9（2008-2009學年山東師大附中高三數學模擬考試試題文科數學21）．已知函數，設曲線在點處的切線與軸的交點為，其中為正實數
（1）用表示；
（2）,若，試證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；
（3）若數列的前項和，記數列的前項和，求．
〖解析〗（1）由題可得，所以在曲線上點處的切線方程為

，即   

令，得，即

由題意得，所以

（2）因為，所以

即，所以數列為等比數列故 ---8分 

（3）當時，

當時，

所以數列的通項公式為，故數列的通項公式為

   ①

①的   ②

①②得

故 ．   

10（廣州市越秀區2009年高三摸底調研理21）.已知（m為常數，m>0且），設是首項為4，公差為2的等差數列.

  （1）求證：數列{a_n}是等比數列；

  （2）若b_n=a_n?，且數列{b_n}的前n項和S_n，當時，求S_n；

  （3）若c_n=，問是否存在m，使得{c_n}中每一項恒小于它后面的項？

若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由.

〖解析〗（1）由題意    即

∴                                        

∴      ∵m>0且，∴m²為非零常數，

∴數列{a_n}是以m⁴為首項，m²為公比的等比數列                  

（2）由題意，

當

∴   ①           

①式兩端同乘以2，得

  ②    

②－①并整理，得

  =

      …10分

（3）由題意

要使對一切成立，即  對一切 成立，

①當m>1時，  成立；                 

②當0<m<1時，

∴對一切 成立，只需，

解得 ，  考慮到0<m<1，    ∴0<m< 

綜上，當0<m<或m>1時，數列{c_n}中每一項恒小于它后面的項.

（一）等差數列、等比數列的通項公式、求和公式的應用以及等差、等比數列的基本性質一直是高考的重點內容，也會是今年高考的重點．對數列部分的考查一方面以小題考查數列的基本知識；另一方面以解答題形式考查等差、等比數列的概念、通項公式以及前項和公式．解答題作為壓軸題的可能性較大，與不等式、數學歸納法、函數等一起綜合考查學生運用數學知識進行歸納、總結、推理、論證、運算等能力以及分析問題、解決問題的能力．具體地：

1． 數列中與的關系一直是高考的熱點，求數列的通項公式是最為常見的題目，要切實注意與的關系．

2．探索性問題在數列中考查較多，試題沒有給出結論，需要考生猜出或自己找出結論，然后給以證明．探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求．

3．等差、等比數列的基本知識必考．這類考題既有選擇題、填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。

4．求和問題也是常見的試題，等差數列、等比數列及可以轉化為等差、等比數列求和問題應掌握，還應該掌握一些特殊數列的求和．

5．將數列應用題轉化為等差、等比數列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所占的分值來看，一年比一年多，而且都注重能力的考查．

6．有關數列與函數、數列與不等式、數列與概率等問題既是考查的重點，也是考查的難點．另外數列與程序框圖的綜合題也應引起重視．

（二）考點預測題

1（2007年寧夏理4）．已知是等差數列，，其前10項和，則其公差（　　）

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．          Ｄ．

〖解析〗由得a₁=4, 則a₁₀=a₁+9d=4+9d=10，所以．

〖答案〗D．

2（2008年天津卷20）．在數列中，，，且（）．

（Ⅰ）設（），證明是等比數列；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項．

〖解析〗（Ⅰ）證明：由題設（），得

，即，．

又，，所以是首項為1，公比為的等比數列．

（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）

　　　　　　　　，

　　　　　　　　，

　　　　　　　　……

　　　　　　　　，（）．

將以上各式相加，得（）．

所以當時，

上式對顯然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），當時，顯然不是與的等差中項，故．

由可得，由得，　①

整理得，解得或（舍去）．于是．

另一方面，，

　　　　　．

由①可得，．

所以對任意的，是與的等差中項．

3（2008年遼寧卷21）．在數列，中，a₁=2，b₁=4，且成等差數列，成等比數列（）

（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜測，的通項公式，并證明你的結論；

（Ⅱ）證明：．

〖解析〗（Ⅰ）由條件得

由此可得

．

猜測．

用數學歸納法證明：

①當n=1時，由上可得結論成立．

②假設當n=k時，結論成立，即

，

那么當n=k+1時，

．

所以當n=k+1時，結論也成立．

由①②，可知對一切正整數都成立．

4（2008-2009學年江蘇省鹽城市高三數學上學期第一次月考20）．已知數列和滿足,,.

(Ⅰ) 當時,求證: 對于任意的實數,一定不是等差數列；

(Ⅱ) 當時,試判斷是否為等比數列；

(Ⅲ) 設為數列的前項和,在(Ⅱ)的條件下,是否存在實數,使得對任意的正

整數,都有?若存在,請求出的取值范圍；若不存在,請說明理由.

〖解析〗（Ⅰ）當時,

假設是等差數列,由得,即5=2,矛盾.

故對于任意的實數,一定不是等差數列.

（Ⅱ）當時,.而,所以

 =.

又 .

故當時, 不是等比數列.

當時, 是以為首項,為公比的等比數列.

（Ⅲ）由(Ⅱ)知,當時,,不合要求.

所以,于是,要使成立,

則.

令,當n正奇數時,；當n正偶數時,.

故的最大值為,最小值為.

欲對任意的正整數n都成立,則,即,所以.

綜上所述,存在唯一的實數=,使得對任意的正整數,都有.