Question

已知點M（x₀，y₀）（x₀≠0）在拋物線E：y²=2px（p＞0）上，拋物線的焦點為F．有以下命題：
①拋物線E的通徑長為2p；
②若p=2，則|MF|-x₀恒為定值1；
③若2p=1，且△MON（O為坐標原點，N在拋物線E上）為正三角形，則|MN|=4

3

；
④若2p=1，則拋物線E上一定存在兩點關于直線y=-x+3對稱．
其中你認為正確的所有命題的序號為

①②④

．

Answer 1

分析：①根據通徑的定義可知其正確；
②利用拋物線的定義將|MF|轉化為M到準線的距離，再進行判斷；
③設另外兩個頂點的坐標分別為 （m²，m），（ m²，-m），由 tan30°=

m

m2

，解得 m的值，從而求出|MN|的值．
④設存在兩點關于直線對稱，則兩點連線與對稱軸垂直，根據兩點的中點在對稱軸上，將兩點代入拋物線方程作差，得到斜率與中點的關系，據點在拋物線上，利用方程組求出對稱的兩點即可進行判斷．

解答：解：①根據通徑的定義可知，拋物線E的通徑長為2p．其正確；
②利用拋物線的定義將|MF|轉化為M到準線的距離，
即|MF|-x₀=|MP|-x₀=|PQ|=定值1．故正確；
③設正三角形另外兩個頂點的坐標分別為 （ m²，m），（ m²，-m），由 tan30°=

m

m2

，
解得 m=

3

，故這個正三角形的邊長為  2m=2

3

，
故正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y²=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長為2

3

，③錯誤．
 ④：直線l的方程為y=-x+3，設弦的兩個端點分別是A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
代入拋物線方程并作差得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=x₁-x₂．
∵k_AB=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴y₁+y₂=1．注意到AB的中點在直線y=-x+3上，
∴x₁+x₂=6-（y₁+y₂）=6-1=5，
∴y₁²+y₂²=x₁+x₂=5，結合上面的y₁+y₂=1解出

y1=-1 y2=2

或

y1=2 y2=-1

．
故拋物線y²=x上總存在兩點關于直線對稱．
故答案為：①②④．

點評：本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，考查直線與圓錐曲線之間的關系，本小題④解題的關鍵是利用兩點關于直線對稱時，兩點連線與對稱軸垂直，兩點中點在對稱軸上．