Question

已知點M（x₀，y₀）在圓x²+y²=4上運動，N（4，0），點P（x，y）為線段MN的中點．
（1）求點P（x，y）的軌跡方程；
（2）求點P（x，y）到直線3x+4y-86=0的距離的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由線段的中點坐標公式，算出點M（x₀，y₀）即M（2x-4，2y），將M坐標代入圓x²+y²=4并化簡，即可得到點P（x，y）的軌跡方程；
（2）根據P的軌跡是以C（2，0）為圓心、半徑等于1的圓，算出C到已知直線的距離，再分別加上、減去半徑，即可得到點P到已知直線距離的最大值和最小值．

解答：解：（1）根據線段中點坐標公式，得

2x=x0+4 2y=y0

解得x₀=2x-4，y₀=2y，
∵點M（x₀，y₀）即M（2x-4，2y）在圓x²+y²=4上運動，
∴M坐標代入，得（2x-4）²+4y²=4，
化簡得（x-2）+y²=1，即為點P（x，y）的軌跡方程；
（2）∵點P（x，y）的軌跡是以C（2，0）為圓心，半徑等于1的圓
∴求得C到直線3x+4y-86=0的距離d=

|3×2+0-86|

32+42

=16
可得點P（x，y）到直線3x+4y-86=0的距離的最大值為16+1=17，最小值為16-1=15．

點評：本題給出動點的軌跡，求其方程并求點到直線的距離的最值．著重考查了點到直線的距離公式、圓的方程、線段的中點坐標公式和動點軌跡的求法等知識，屬于中檔題．