Question

已知點B′為圓A：（x-1）²+y²=8上任意一點、點B（-1，0）．線段BB′的垂直平分線和線段AB′相交于點M．
（1）求點M的軌跡E的方程；
（2）已知點M（x₀，y₀）為曲線E上任意一點．求證：點P(

3x0-2

2-x0

，

4y0

2-x0

)關于直線x₀x+2y₀y=2的對稱點為定點、并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）求出A的坐標，由題意可知M滿足橢圓的定義，求a、b可得它的方程．
（2）設出定點利用對稱知識，和已知直線垂直，中點在已知直線上，解出定點坐標即可．

解答：解：（1）連接MB，
∴MB=MB'，MA+MB′=AB′=2

2

故MA+MB=2

2

、而AB=2（4分）
∴點M的軌跡是以A、B為焦點且長軸長為2

2

的橢圓．
∴點M的軌跡E的方程為

x2

2

+y2=1（8分）
（2）證明：設點P(

3x0-2

2-x0

，

4y0

2-x0

)
關于直線x₀x+2y₀y=2的對稱點為Q（a，b）
所以

4y0 2-x0 -b

3x0-2 2-x0 -a

=

2y0

x0

．
即

4y0-b(2-x0)

3x0-2-a(2-x0)

=

2y0

x0

（10分）
∴bx₀（2-x₀）=2y₀（2-x₀）（a+1）．
∵x₀≠2
∴bx₀-2y₀（a+1）=0（14分）
因為上式對任意x₀，y₀成立，
故

a+1=0 b=0

所以對稱點為定點Q（-1，0）．（16分）

點評：本題考查圓的標準方程，點關于直線對稱問題，軌跡的求法，是難題．