Question

已知點(diǎn)M（x₀，y₀）（x₀≠0）在拋物線E：y²=2px（p＞0）上，拋物線的焦點(diǎn)為F．有以下命題：
①拋物線E的通徑長為2p；
②若以M為切點(diǎn)的拋物線E的切線為l，則直線y=y₀與直線l所成的夾角和直線MF與直線l所成的夾角相等；
③若2p=1，且△MON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，N在拋物線E上）為正三角形，則|MN|=4

3

；
④若2p=1，b∈(

3

4

，+∞)，則拋物線E上一定存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=-x+b對稱．
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號為

①②④

．

Answer 1

分析：①拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

p

2

，0)，當(dāng)x=

p

2

時(shí)，y=±p，故可求拋物線E的通徑長；
②求出切線的斜率，直線MF的斜率，直線y=y₀的斜率，利用夾角公式可知結(jié)論正確；
③由題意，M，N關(guān)于x軸對稱，設(shè)直線OM的方程為y=

3

3

x，即x=

3

y，代入拋物線E：y²=x，求得M的縱坐標(biāo)，即可判斷；
④假設(shè)拋物線上的兩點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂），這兩點(diǎn)所在直線（設(shè)為y=x+a），應(yīng)與y=-x+b這條直線垂直，且中點(diǎn)在直線y=-x+b上，即可求解．

解答：解：①拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

p

2

，0)，當(dāng)x=

p

2

時(shí)，y=±p，∴拋物線E的通徑長為2p，故①正確；
②不妨設(shè)y₀＞0，則y=

2px

，求導(dǎo)函數(shù)可得y′=

p 2x

，∴切線的斜率為

p 2x0

=

p

y0

，由于直線MF的斜率為

y0

x0- p 2

，直線y=y₀的斜率為0，利用夾角公式可知直線y=y₀與直線l所成的夾角和直線MF與直線l所成的夾角相等，故②正確；
③由題意，M，N關(guān)于x軸對稱，設(shè)直線OM的方程為y=

3

3

x，即x=

3

y，代入拋物線E：y²=x，所以y=

3

，∴|MN|=2

3

，故③不正確；
④假設(shè)拋物線上的兩點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂），這兩點(diǎn)所在直線（設(shè)為y=x+a），應(yīng)與y=-x+b這條直線垂直，且中點(diǎn)在直線y=-x+b上．
聯(lián)立方程y=x+a，y²=x：得到x²+（2a-1）x+a²=0，∴1-4a＞0，∴a＜

1

4

∵x₁+x₂=1-2a，y₁+y₂=1，∴中點(diǎn)（

1-2a

2

，

1

2

），代入直線y=-x+b得到

1

2

=-

1-2a

2

+b
∴a+b=1，∴1-b＜

1

4

，∴b＞

3

4

故④正確
故答案為：①②④

點(diǎn)評：本題考查拋物線的性質(zhì)，考查對稱性，解題的關(guān)鍵是利用拋物線方程，逐個(gè)判斷，屬于中檔題．