Question

已知函數f（x）=（t為常數）．
（1）當t=1時，在圖中的直角坐標系內作出函數y=f（x）的大致圖象，并指出該函數所具備的基本性質中的兩個（只需寫兩個）．
（2）設a_n=f（n）（n∈N^*），當t＞10，且t∉N^*時，試判斷數列{a_n}的單調性并由此寫出該數列中最大項和最小項（可用[t]來表示不超過t的最大整數）．
（3）利用函數y=f（x）構造一個數列{x_n}，方法如下：對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*），…在上述構造過程中，若x_i（i∈N^*）在定義域中，則構造數列的過程繼續下去；若x_i不在定義域中，則構造數列的過程停止．若可用上述方法構造出一個常數列{x_n}，求t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當t=1時，f（x）==-1+．
圖象如圖（2分）
基本性質：（每個2分）
奇偶性：既非奇函數又非偶函數；
單調性：在（-∞，1）和（1，+∞）上分別遞增；
零點：x=0；
最值：無最大、小值．（6分）
（2）a_n==-1+，
當1≤n≤[t]，n∈N^*時，數列單調遞增，且此時a_n均大于-1，
當n≥[t]+1，n∈N^*時，數列單調遞增，且此時a_n均小于-1，（8分）
因此，數列中的最大項為a_[t}=，（10分）
最小項為a_[t}+1=．（12分）
（3）根據題意，只需當x≠t時，方程f（x）=x有解，
亦即方程x²+（1-t）x+1-t=0有不等于t的解，（14分）
將x=t代入方程左邊，得左邊為1≠0，故方程不可能有x=t的解．（16分）
由△=（1-t）²-4（1-t）≥0，解得t≤-3或t≥1，
即實數t的取值范圍是（-∞，-3]∪[1，+∞）．（18分）
分析：（1）當t=1時，f（x）==-1+，畫出函數的圖象，利用圖象可得函數的性質；
（2）a_n==-1+，確定1≤n≤[t]，n∈N^*時，數列單調遞增，且此時a_n均大于-1；n≥[t]+1，n∈N^*時，數列單調遞增，且此時a_n均小于-1，由此可得結論
（3）只需當x≠t時，方程f（x）=x有解，亦即方程x²+（1-t）x+1-t=0有不等于t的解，由△≥0，可得實數t的取值范圍．
點評：本題考查函數的圖象與性質，考查函數的單調性，考查數列與函數的關系，考查方程解的研究，確定函數的單調性是關鍵．