Question

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=

1

x

）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x³+x²•[f′(x)+

m

2

]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)增減性的關(guān)系，判斷函數(shù)的遞增區(qū)間，
（2）根據(jù)根的分布與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系確定m的范圍．

解答：解：（1）依題意得：f′（x）=

-a(x-1)

x

，
當(dāng)a＞0，單調(diào)遞增區(qū)間（0，1），
當(dāng)a＜0，單調(diào)遞增區(qū)間（1，+∞），
當(dāng)a=0，無增區(qū)間．
（2）由f′（2）=1，得a=-2，
∴g(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x，
所以g′（x）=3x²+（m+4）x-2=0有兩個(gè)正負(fù)根，
依題意必有正根在區(qū)間（1，3）上，
∴由根的分布可得g′（1）＜0且g′（3）＞0
∴-

37

3

＜m＜-5．

點(diǎn)評(píng)：掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減區(qū)間的方法，及根的分布的判定．