Question

已知函數f（x）=a•2^x+b•3^x，其中常數a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數f（x）的單調性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0兩種情況討論，運用單調性的定義可作出判斷；
（2）當a=-3b時，f（x）=-3b•2^x+b•3^x=b（3^x-3•2^x），分b＞0，b＜0兩種情況進行討論，整理可得指數不等式解出即可；

解答：解：（1）當a＞0，b＞0時，
任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=a（2x1-2x2）+b（3x1-3x2），
∵2x1＜2x2，3x1＜3x2，a＞0，b＞0，
∴a（2x1-2x2）＜0，b（3x1-3x2）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函數f（x）在R上是增函數；
當a＜0，b＜0時，同理，可判斷函數f（x）在R上是減函數；
（2）當a=-3b時，f（x）=-3b•2^x+b•3^x=b（3^x-3•2^x），
則f（x+1）＞f（x）即化為b（3^x+1-3•2^x+1）＞b（3^x-3•2^x），
若b＞0，則有3^x+1-3•2^x+1＞3^x-3•2^x，整理得(

3

2

)x＞

3

2

，解得x＞1；
若b＜0，則有3^x+1-3•2^x+1＜3^x-3•2^x，整理得(

3

2

)x＜

3

2

，解得x＜1；
故b＞0時，x的范圍是x＞1；當b＜0時，x的范圍是x＜1．

點評：本題考查函數單調性的判斷、指數函數的單調性的應用，考查分類討論思想，屬基礎題．