Question

已知函數f（x）=a-2^|x|+1（a≠0），定義函數F（x）=

f(x)   ，  x＞0 -f(x) ，    x＜0

 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數F（x）是奇函數；③當a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：根據已知求出F（x）與|f（x）|的解析式，進而根據函數相等的定義可判斷①；判斷出函數F（x）的奇偶性，可判斷②；若mn＜0，m+n＞0，可得m，n異號且正數的絕對值較大，代入F（m）+F（n）判斷符號，可判斷③

解答：解：∵F（x）=

f(x)   ，  x＞0 -f(x) ，    x＜0

=

a-2x+1，x＞0 -a+2-x-1，x＜0

|f（x）|=|a-2^|x|+1|
兩個函數的解析式不同，故①錯誤；
∵函數F（x）的定義域{x|x≠0}關于原點對稱
且F（-x）=

-a+2x-1，x＞0 a-2x+1，x＜0

=-F（x）
故函數F（x）是奇函數，故②正確；
∵mn＜0，m+n＞0，
故m，n異號，
若m＞0，則n＜0，且|m|＞|n|
則F（m）+F（n）=a-2^m+1-a+2ⁿ-1=2ⁿ-2^m＜0
同理可證m＜0時，F（m）+F（n）＜0成立
故③正確
故正確的命題有：②③
故答案為：②③

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數相等，函數的奇偶性，利用函數單調性解不等式等問題，是函數圖象和性質的綜合應用，難度較大．