Question

已知函數f（x）為定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關于x的方程f（x）-a=o有解，求實數a的范圍．

Answer 1

分析：（1）由當x＞0時，通過平方關系和輔助角法將f（x）轉化為y=

2

sin(2x+

π

4

)+2，設x＜0時，則-x＞0，，再由奇偶性求解．
（2）將方程f（x）-a=0轉化為a=f（x），這樣求a的范圍即求函數f（x）的值域．

解答：解：（1）當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x=sin2x+2cos²x+1=sin2x+cos2x+2
=

2

sin(2x+

π

4

)+2
x＜0時，-x＞0，f（x）=-f（-x）
=

2

sin(2x-

π

4

)-2（6分）
（2）若關于x的方程f（x）-a=o有解，
a=f(x)∈[-

2

-2，

2

-2]∪[-

2

+2，

2

+2]∪{0}（12分）

點評：本題主要考查用奇偶性求對稱區間上的解析式，涉及到同角三角函數基本關系式和輔助角法以及求函數的值域．