Question

已知函數f（x）=1-|2x-a|，a∈R．
（I）當a=5時，求不等式f（x）≥3x-2的解集．
（II）求證：函數f（x）=1-|2x-a|的最大值恒為定值．

Answer 1

分析：（I）當a=5時，不等式f（x）≥3x-2可化為|2x-5|≤-3x+3，利用絕對值的幾何意義化簡，即可求不等式f（x）≥3x-2的解集．
（II）利用絕對值的幾何意義化簡函數，可得分段函數，利用函數的單調性，即可得到函數f（x）=1-|2x-a|的最大值恒為定值．

解答：（I）解：當a=5時，不等式f（x）≥3x-2可化為|2x-5|≤-3x+3
∴3x-3≤2x-5≤-3x+3
∴3x+2≤2x≤-3x+8
∴x≤-2且x≤

8

5

∴x≤-2
∴不等式f（x）≥3x-2的解集為{x|x≤-2}．
（II）證明：f（x）=1-|2x-a|=

2x-a+1，x≤ a 2 -2x+a+1，x＞ a 2

∴x≤

a

2

時，函數f（x）為增函數；x＞

a

2

時，函數f（x）為減函數
∴[f（x）]_max=f（

a

2

）=1
∴函數f（x）=1-|2x-a|的最大值恒為定值．

點評：本題考查絕對值函數，考查解不等式，考查函數的單調性與最值，屬于中檔題．