Question

已知函數f（x）=x+

a

x

的定義域為（0，+∞），且f（2）=2+

2

2

．設點P是函數圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）設O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=2+

a

2

=2+

2

2

求解a．
（2）先設點P的坐標為（x₀，y₀），則有y₀=x₀+

2

x0

，x₀＞0，再由點到直線的距離公式求得|PM|，|PN|計算即可．
（3）由（2）可將S_{四邊形OMPN}轉化為S_△OPM+S_△OPN之和，分別用直角三角形面積公式求解，再構造S_{四邊形OMPN}面積模型求最值．

解答：解：（1）∵f（2）=2+

a

2

=2+

2

2

，∴a=

2

．
（2）設點P的坐標為（x₀，y₀），則有y₀=x₀+

2

x0

，x₀＞0，
由點到直線的距離公式可知，|PM|=

|x0-y0|

2

=

1

x0

，|PN|=x₀，
∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|為定值，這個值為1．
（3）由題意可設M（t，t），可知N（0，y₀）．
∵PM與直線y=x垂直，
∴k_PM•1=-1，即

y0-t

x0-t

=-1．解得t=

1

2

（x₀+y₀）．
又y₀=x₀+

2

x0

，∴t=x₀+

2

2x0

．
∴S_△OPM=

1

2x02

+

2

2

，S_△OPN=

1

2

x₀²+

2

2

．
∴S_{四邊形OMPN}=S_△OPM+S_△OPN=

1

2

（x₀²+

1

x02

）+

2

≥1+

2

．
當且僅當x₀=1時，等號成立．
此時四邊形OMPN的面積有最小值：1+

2

．

點評：本題主要考查函數與方程的綜合運用，還考查了平面圖形的轉化與面積模型建立與解決．