Question

已知函數f（x）=x+

a

x

的定義域為（0，+∞），a＞0且當x=1時取得最小值，設點P是函數圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值；
（2）問：PM•PN是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，請說明理由；
（3）設O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由基本不等式得當且僅當x=

a

x

即x=

a

時，f（x）取得最小值，從而由

a

=1求解a．
（2）先設點P的坐標為p(t，t+

1

t

)(t＞0)，則有PM=

1 t

2

=

1

2 t

，PN=t．再求得PM•PN即可得出答案．
（3）由（2）可將S_{四邊形OMPN}轉化為S_△OPM+S_△OPN之和，分別用直角三角形面積公式求解，再構造S_{四邊形OMPN}面積模型求最值．

解答：解：（1）∵x＞0，a＞0
∴f(x)=x+

a

x

≥2

a

，當且僅當x=

a

x

即x=

a

時，f（x）取得最小值，
∴

a

=1∴a=1--------------------（5分）
（2）設p(t，t+

1

t

)(t＞0)，
則：PM=

1 t

2

=

1

2 t

，PN=t，
∴PM•PN=

2

2

（定值）--（10分）
(3)OM=

2t+ 1 t

2

∴SOMPN=S△OPM+S△OPN=

1

2

•

1

2 t

•

2t+ 1 t

2

+

1

2

t•(t+

1

t

)=1+

1

2

(

1

2t2

+t2)≥1+

1

2

×2

1 2

=1+

2

2

（當t=

4	1 2

時取等號）
∴四邊形OMPN面積最小值為1+

2

2

．----------------------------------（16分）

點評：本題主要考查函數與方程的綜合運用，還考查了平面圖形的轉化與面積模型建立與解決．屬于中檔題．