Question

已知函數f（x）的圖象經過點（1，λ），且對任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．數列{a_n}滿足a1=λ-2，an+1=

2n，n為奇數 f(an)，n為偶數

．
（1）當x為正整數時，求f（n）的表達式；
（2）設λ=3，求a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（3）若對任意n∈N^*，總有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當x為正整數時，f（n）可以看成一個數列，利用題中條件求出數列的遞推關系式即可求出f（n）的表達式；
（2）先利用條件求出分段數列{a_n}的表達式，再對a₁+a₂+a₃+…+a_2n進行分組求和即可求出a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（3）先分n為奇數和偶數兩種情況對不等式兩邊進行整理，發現n為奇數時，不等式恒成立；n為偶數時，轉化為關于實數λ的不等式恒成立即可求實數λ的取值范圍．

解答：解：（1）記b_n=f（n），由f（x+1）=f（x）+2有b_n+1-b_n=2對任意n∈N^*都成立，
又b₁=f（1）=λ，所以數列b_n為首項為λ公差為2的等差數列，（2分）
故b_n=2n+λ-2，即f（n）=2n+λ-2．（4分）

（2）由題設λ=3
若n為偶數，則a_n=2^n-1；（5分）
若n為奇數且n≥3，則a_n=f（a_n-1）=2a_n-1+λ-2=2•2^n-2+λ-2=2^n-1+λ-2=2^n-1+1（6分）
又a₁=λ-2=1，
即an=

1n=1 2n-1+1n為奇數且n≥3 2n-1n為偶數

a₁+a₂+a₃++a_2n=（a₁+a₃++a_2n-1）+（a₂+a₄++a_2n）=（2⁰+2²++2^2n-2+n-1）+（2¹+2³++2^2n-1）
=（1+2¹+2²++2^2n-1）+n-1=2²ⁿ+n-2．（9分）

（3）當n為奇數且n≥3時，a_n+1a_n+2-a_na_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n）=2ⁿ[2ⁿ⁺¹+λ-2-（2^n-1+λ-2）]=3•2^2n-1＞0；（10分）
當n為偶數時，a_n+1a_n+2-a_na_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n）=（2ⁿ+λ-2）（2ⁿ⁺¹-2^n-1）]=3•2^n-1（2ⁿ+λ-2），（11分）
因為a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，所以2ⁿ+λ-2＞0，（12分）
∵n為偶數，∴n≥2，
∵2ⁿ+λ-2單增∴4+λ-2＞0，即λ＞-2（13分）
故λ的取值范圍為（-2，+∞）．（14分）．

點評：本題是對數列和分段函數的綜合考查．在我們做分段函數題目時，是分段進行的，同樣在做分段數列的題目時，也要分段討論．