Question

（2012•天門模擬）已知函數f（x）的圖象經過點（1，λ），且對任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．數列{a_n}滿足a1=λ-2，2an+1=

2n，n為奇數 f(an)，n為偶數

（I）求f（n）（n∈N^*）的表達式；
（II）設λ=3，求a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（III）若對任意n∈N^*，總有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）記b_n=f（n），由f（x+1）=f（x）+2知數列{b_n}為首項為λ，公差為2的等差數列，從而求出b_n．即f（n）．
（II）要求a₁+a₂+a₃+…+a_2n即求（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）再將a_n的值分別代入即可．
（III）由于a_n的通項公式有三個，所以分n為奇數和偶數兩種情況討論，
當n為奇數且n≥3時，判斷a_n+1a_n+2與a_na_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n大小得λ的范圍，
當n為偶數時，判斷a_n+1a_n+2與a_na_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n）的大小，并且求出λ＞-2

解答：解：（I）記b_n=f（n），由f（x+1）=f（x）+2有b_n+1-b_n=2對任意n∈N^*都成立，
又b₁=f（1）=λ，所以數列{b_n}為首項為λ，公差為2的等差數列，
故b_n=2n+λ-2．即f（n）=2n+λ-2．
   （II）由題設λ=3
若n為偶數，則a_n=2^n-1；
若n為奇數且n≥3，則
a_n=f（a_n-1）=2a_n-1+λ-2=2•2^n-2+λ-2=2^n-1+λ-2=2^n-1+1
又a₁=λ-2=1，
即an=

1 n=1 2n-1+1 n為奇數且n≥3 2n-1   n為偶數

a₁+a₂+a₃+…+a_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=（2⁰+2²+…+2^2n-2+n-1）+（2¹+2³+…+2^2n-1）
=（1+2+2²+…+2^2n-1）+n-1
=2²ⁿ+n-2
（III）當n為奇數且n≥3時，
a_n+1a_n+2-a_na_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n）=2ⁿ[2ⁿ⁺¹+λ-2-（2^n-1+λ-2）]
=3•2^2n-1＞0；
當n為偶數時，
a_n+1a_n+2-a_na_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n）=（2ⁿ+λ-2）（2ⁿ⁺¹-2^n-1）]
=3•2^n-1（2ⁿ+λ-2）
因為a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，所以2ⁿ+λ-2＞0，
∵n為偶數，∴n≥2，
∵2ⁿ+λ-2單增，∴4+λ-2＞0
即λ＞-2
故λ得取值范圍為（-2，+∞）．

點評：此題考查等差數列的定義，及如何構造等差數列是解此題的關鍵．數列求和中注意要分n的奇偶性進行討論．