Question

（2011•焦作一模）已知函數f（x）的圖象過點（

π

4

，-

1

2

），它的導函數f′（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R）的圖象的一部分如圖所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，為了得到函
數f（x）的圖象，只要將函數y=sinx（x∈R）的圖象上所有的點（　�。�

• A．向左平移

  π

  6

  個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的

  1

  2

  倍，縱坐標不變，最后沿y軸方向向下平移一個單位長度
• B．向左平移

  π

  6

  個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，最后沿y軸方向向上平移一個單位長度
• C．向左平移

  π

  3

  個單位長度，再把得所各點的橫坐標縮短到原來的

  1

  2

  倍，縱坐標不變，最后沿y軸方向向下平移一個單位長度
• D．向左平移

  π

  3

  個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，最后沿y軸方向向上平移一個單位長度

Answer 1

分析：由f′（x）=Acos（ωx+φ）的圖象可求得A，ω，φ，f（x）的圖象過點（

π

4

，-

1

2

），從而可求得原函數y=f（x）的解析式，利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得答案．

解答：解：∵f′（x）=Acos（ωx+φ），
∴由圖知，A=2，

3

4

T=

π

3

+

5π

12

=

3

4

π，
∴T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
又

π

3

ω+φ=π+2kπ，k∈Z，
∴φ=2kπ+

π

3

（k∈Z），又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

3

．
∴f′（x）=2cos（2x+

π

3

）．
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）+b．
∵函數f（x）的圖象過點（

π

4

，-

1

2

），
∴sin（2×

π

4

+

π

3

）+b=-

1

2

，
∴b=-1．
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）-1．
∴為了得到函數f（x）sin（2x+

π

3

）-1的圖象，
只要將函數y=sinx（x∈R）的圖象上所有的點：向左平移

π

3

個單位長度，再把得所各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變，最后沿y軸方向向下平移一個單位長度即可．
故選C．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查函數解析式的確定與導函數的應用，屬于中檔題．