Question

【題目】已知定義在R上的偶函數f（x），當x∈（﹣∞，0]時的解析式為f（x）=x2+2x
（1）求函數f（x）在R上的解析式；
（2）畫出函數f（x）的圖象并直接寫出它的單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x＞0時，﹣x＜0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣2x=x2﹣2x

又f（x）為偶函數，∴f（﹣x）=f（x）

∴f（x）=x2﹣2x

∴

（2）解：

單調遞增區間為：（﹣1，0），（1，+∞）

單調遞減區間為：（0，1），（﹣∞，﹣1）

【解析】（1）由已知中，x∈（﹣∞，0]時的解析式為f（x）=x2+2x，我們可由x＞0時，﹣x＜0，代入求出f（﹣x），進而根據y=f（x）是偶函數，得到x＞0時，f（x）的解析式；（2）根據分段函數分段畫的原則，結合（1）中函數的解析式，我們易畫出函數的圖象，結合圖象，我們根據從左到右圖象上升，函數為增函數，圖象下降，函數為減函數的原則，得到函數的單調性．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．