Question

【題目】已知定圓，動圓過點且與圓相切，記圓心的軌跡為.

（I）求軌跡的方程；

（Ⅱ）若與軸不重合的直線過點，且與軌跡交于兩點，問：在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，試求出點的坐標和定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（I）因為點在圓內，所以圓內切于圓，因為，所以點的軌跡為以和為焦點的橢圓，……3分

且，，，所以，所以軌跡的方程為．……5分

（Ⅱ）設直線的方程為．

由得，…………………………6分

設、，所以，，

根據題意，假設軸上存在定點，

使得為定值．…………8分

則

，

要使上式為定值，即與無關，則，…………10分

解得，此時，

所以在軸上存在定點，使得為定值，且定值為．……12分

【命題意圖】本題考查圓與圓的位置關系、軌跡方程、直線和橢圓的位置關系等基礎知識，意在考查數形結合思想和綜合分析問題、解決問題的能力．