Question

【題目】已知點(diǎn)在橢圓上，設(shè)分別為左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，且下頂點(diǎn)到直線的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖所示，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，交軸于點(diǎn)，若為中點(diǎn)，過作與直線垂直的直線，證明：對于任意的，直線恒過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）由題意，得直線方程為，點(diǎn)，……………1分

∴點(diǎn)到直線的距離，整理，得． ①……………3分

又點(diǎn)在橢圓上，所以． ②……………4分

聯(lián)立①②解得，所以橢圓的方程為．…………………5分

（2）因為，所以設(shè)直線的方程為．

由消元得，，化簡得，，

解得，. …………………7分

顯然，則，

所以. …………………8分

因為點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以的坐標(biāo)為，則，

所以直線的斜率為，

又直線的方程為，…………………10分

所以令，得點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以直線的方程為，即，…………………11分

所以直線恒過定點(diǎn)．…………………12分

【命題意圖】本題主要考查橢圓方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯思維

與推理論證能力、分析與解決問題的能力、運(yùn)算求解能力．