Question

（08年唐山一中一模文）(12分） 設函數f(x)是定義在R上的減函數，滿足f(x+y)=f(x)•f(y)且f(0)=1,數列{a_n}滿足

a₁=4，f(log₃f(-1-log₃=1 (n∈N^*)

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；

（Ⅱ）求數列{na_n}的前n項和T_n.

Answer 1

解析:(Ⅰ)由題設知f(log₃∙f(-1-log₃=1 (n∈N^*)可化為,

∵y=f(x)是定義在R上的單調減函數，

∴即

∴數列是以為首項，1為公差的等差數列。

∴log₃即

a_n=4∙3^n-1……………………6分

(Ⅱ)na_n=4n∙3^n-1,∴T_n=4(1∙3⁰+2∙3¹+3∙3²+…+n∙3^n-1) ,∴3T_n=4(1∙3¹+2∙3²+3∙3³+…+n∙3ⁿ),

∴-2T_n=4(1+3¹+3²+3³+…+3^n-1-n∙3ⁿ)=4(-n∙3ⁿ) ,T_n=(2n-1)∙3ⁿ+1. …………12分