【題目】未來創造業對零件的精度要求越來越高.
打印通常是采用數字技術材料打印機來實現的，常在模具制造、工業設計等領域被用于制造模型，后逐漸用于一些產品的直接制造，已經有使用這種技術打印而成的零部件.該技術應用十分廣泛，可以預計在未來會有發展空間.某制造企業向
高校打印實驗團隊租用一臺打印設備，用于打印一批對內徑有較高精度要求的零件.該團隊在實驗室打印出了一批這樣的零件，從中隨機抽取
個零件，度量其內徑的莖葉圖如圖（單位：
）.
（1）計算平均值
與標準差
；
（2）假設這臺打印設備打印出品的零件內徑
服從正態分布
，該團隊到工廠安裝調試后，試打了
個零件，度量其內徑分別為（單位：）：
、
、
、
、
，試問此打印設備是否需要進一步調試？為什么？
參考數據：
，
，
，
，
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
的極坐標方程為
，曲線
的參數方程為
（
為參數）
（Ⅰ）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程;
（Ⅱ）若過
且與直線垂直的直線
與曲線相交于兩點
，
，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，分別過橢圓
左、右焦點
的動直線
相交于
點，與橢圓
分別交于
與
不同四點，直線
的斜率
滿足
．已知當
與
軸重合時，
，
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在定點
，使得
為定值？若存在，求出點坐標并求出此定值；若不存在，說明理由．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，
和
.
【解析】試題分析：（1）當
與
軸重合時，
垂直于軸，得
,得
,
從而得橢圓的方程；（2）由題目分析如果存兩定點，則
點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，所以把
坐標化，可得
點的軌跡是橢圓，從而求得定點
和點
.
試題解析：
當與軸重合時，
, 即
,所以
垂直于軸，得
，
，, 得
,
橢圓
的方程為
.
焦點
坐標分別為
, 當直線
或斜率不存在時，點坐標為
或
;
當直線斜率存在時，設斜率分別為
, 設
由
, 得：
, 所以:
，
, 則：
. 同理：
, 因為
, 所以
, 即
, 由題意知
, 所以
， 設
，則
，即
，由當直線或斜率不存在時，點坐標為或也滿足此方程，所以點在橢圓
上.存在點和點，使得
為定值，定值為
.
考點：圓錐曲線的定義，性質，方程.
【方法點晴】本題是對圓錐曲線的綜合應用進行考查，第一問通過兩個特殊位置，得到基本量，，得,,從而得橢圓的方程，第二問由題目分析如果存兩定點，則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ，本題的關鍵是從這個角度出發，把
坐標化，求得點的軌跡方程是橢圓
，從而求得存在兩定點和點.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知
，
，
.
（Ⅰ）若
，求
的極值；
（Ⅱ）若函數
的兩個零點為
，記
，證明：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某實驗室一天的溫度(單位：
)隨時間
(單位：
)的變化近似滿足函數關系：
.
（Ⅰ）求實驗室這一天的最大溫差；
（Ⅱ）若要求實驗室溫度不高于
，則在哪段時間實驗室需要降溫？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是底面邊長為1的正三棱錐，
分別為棱長
上的點，截面
底面
，且棱臺
與棱錐的棱長和相等.（棱長和是指多面體中所有棱的長度之和）
（1）證明：為正四面體；
（2）若
，求二面角
的大小；（結果用反三角函數值表示）
（3）設棱臺的體積為
，是否存在體積為且各棱長均相等的直平行六面體，使得它與棱臺有相同的棱長和？若存在，請具體構造出這樣的一個直平行六面體，并給出證明；若不存在，請說明理由.
（注：用平行于底的截面截棱錐，該截面與底面之間的部分稱為棱臺，本題中棱臺的體積等于棱錐的體積減去棱錐
的體積.）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X（年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和．單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，如將年人流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，假設各年的年入流量相互獨立．
（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；（
，
）
（2）水電站希望安裝的發電機盡可能運行最多，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系：
年流入量 |
|
|
|
發電機最多可運行臺數 | 1 | 2 | 3 |
若某臺發電機運行，則該臺年利潤為4000萬元，若某臺發電機未運行，則該臺年虧損600萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？
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