Question

【題目】已知直線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數）

（Ⅰ）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程;

（Ⅱ）若過且與直線垂直的直線與曲線相交于兩點，，求.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據極坐標與直角坐標的互化公式，即可求得直線的直角坐標方程，消去參數，即可求得曲線的普通方程；

（Ⅱ）求得直線的參數方程，代入橢圓的方程，利用直線參數的幾何意義，即可求解．

（Ⅰ）由直線極坐標方程為，

根據極坐標與直角坐標的互化公式，可得直線直角坐標方程：，

由曲線的參數方程為（為參數），則，

整理得，即橢圓的普通方程為．

（Ⅱ）直線的參數方程為，即（為參數）

把直線的參數方程代入得：，

故可設，是上述方程的兩個實根，則有

又直線過點，故由上式及的幾何意義得：.