Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若f (x)在區(qū)間(－∞，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若a＝0，x0<1，設(shè)直線y＝g(x)為函數(shù)f (x)的圖象在x＝x0處的切線，求證:f (x)≤g(x).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)恒成立，推出，即可求出的范圍；（2）利用，化簡(jiǎn)，通過(guò)函數(shù)在處的切線方程為，討論當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，利用分析法證明；構(gòu)造函數(shù) ，求出，構(gòu)造新函數(shù)，利用公式的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，然后推出結(jié)論.

試題解析：(1)解　易知f ′(x)＝－，

由已知得f ′(x)≥0對(duì)x∈(－∞，2)恒成立，

故x≤1－a對(duì)x∈(－∞，2)恒成立，∴1－a≥2，∴a≤－1.

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－1].

(2)證明　a＝0，則f (x)＝.

函數(shù)f (x)的圖象在x＝x0處的切線方程為y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f (x0).

令h(x)＝f (x)－g(x)＝f (x)－f ′(x0)(x－x0)－f (x0)，x∈R，

則h′(x)＝f ′(x)－f ′(x0)＝－＝.

設(shè)φ(x)＝(1－x)ex0－(1－x0)ex，x∈R，

則φ′(x)＝－ex0－(1－x0)ex，∵x0<1，∴φ′(x)<0，

∴φ(x)在R上單調(diào)遞減，而φ(x0)＝0，

∴當(dāng)x<x0時(shí)，φ(x)>0，當(dāng)x>x0時(shí)，φ(x)<0，

∴當(dāng)x<x0時(shí)，h′(x)>0，當(dāng)x>x0時(shí)，h′(x)<0，

∴h(x)在區(qū)間(－∞，x0)上為增函數(shù)，在區(qū)間(x0，＋∞)上為減函數(shù)，

∴x∈R時(shí)，h(x)≤h(x0)＝0，

∴f (x)≤g(x).