Question

【題目】如圖，是底面邊長為1的正三棱錐，分別為棱長上的點，截面底面，且棱臺與棱錐的棱長和相等.（棱長和是指多面體中所有棱的長度之和）

（1）證明：為正四面體；

（2）若，求二面角的大小；（結果用反三角函數值表示）

（3）設棱臺的體積為，是否存在體積為且各棱長均相等的直平行六面體，使得它與棱臺有相同的棱長和？若存在，請具體構造出這樣的一個直平行六面體，并給出證明；若不存在，請說明理由.

（注：用平行于底的截面截棱錐，該截面與底面之間的部分稱為棱臺，本題中棱臺的體積等于棱錐的體積減去棱錐的體積.）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，證明見解析.（注：所構造直平行六面體不唯一，只需題目滿足要求即可）

【解析】

（1）根據棱長和相等可知，根據面面平行關系和棱錐為正三棱錐可證得，進而證得各棱長均相等，由此得到結論；（2）取的中點，連接，根據等腰三角形三線合一的性質和線面垂直判定定理可證得平面，由線面垂直性質可知，從而得到即為所求二面角的平面角；易知，從而得到，在中根據長度關系可求得，從而得到結果；（3）設直平行六面體的棱長均為，底面相鄰兩邊夾角為，根據正四面體體積為，可驗證出；又所構造六面體體積為，知，只需滿足即可滿足要求，從而得到結果.

（1）棱臺與棱錐的棱長和相等

平面平面，三棱錐為正三棱錐

為正四面體

（2）取的中點，連接

， ，

平面， 平面

平面

為二面角的平面角

由（1）知，各棱長均為

為中點

即二面角的大小為：

（3）存在滿足題意的直平行六面體，理由如下：

棱臺的棱長和為定值，體積為

設直平行六面體的棱長均為，底面相鄰兩邊夾角為

則該六面體棱長和為，體積為

正四面體體積為：

時，滿足要求

故可構造棱長均為，底面相鄰兩邊夾角為的直平行六面體即可滿足要求