Question

【題目】已知圓，點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡為曲線．

1求曲線的方程；

2若直線 與曲線相交于兩點，為坐標原點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】

試題（1）由垂直平分線的幾何意義可知，，滿足橢圓的定義。（2）直線與橢圓組方程組，由韋達定理、弦長公式和點到直線的距離公式，可求得 ．由，得及均值不等式可求得面積的最大值．

試題解析：（Ⅰ）∵點在線段的垂直平分線上，∴．

又，∴．

∴曲線是以坐標原點為中心，和為焦點，長軸長為的橢圓．

設曲線的方程為．

∵，∴．

∴曲線的方程為．

（Ⅱ）設．

聯立消去，得．

此時有．

由一元二次方程根與系數的關系，得

，．

∴ ．

∵原點到直線的距離，

∴ ．

由，得．又，∴據基本不等式，得

．

當且僅當時，不等式取等號．

∴面積的最大值為．