Question

7、已知函數(shù)f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），給出下列四個(gè)命題：
①f（x）必是偶函數(shù)；
②當(dāng)f（0）=f（2）時(shí)，f（x）的圖象必關(guān)于x=1對(duì)稱；
③若a²-b≤0，則f（x）在區(qū)間[a，+∞]上是增函數(shù)；
④f（x）有最大值|a²-b|．
其中所有真命題的序號(hào)是

③

．

Answer 1

分析：當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）不具有奇偶性，故①不正確；令a=0，b=-2，則f（x）=|x²-2|，此時(shí)f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x²-2|的對(duì)稱軸為y軸而不關(guān)于x=1對(duì)稱，故②不正確；若b-a²≥0，即f（x）的最小值b-a²≥0時(shí)，f（x）=（x-a）²+（b-a²），顯然f（x）在[a，+∞]上是增函數(shù)，故③正確；又f（x）無(wú)最大值，故④不正確．

解答：解：當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）不具有奇偶性，①錯(cuò)誤；
令a=0，b=-2，則f（x）=|x²-2|，
此時(shí)f（0）=f（2）=2，
但f（x）=|x²-2|的對(duì)稱軸為y軸而不關(guān)于x=1對(duì)稱，②錯(cuò)誤；
又∵f（x）=|x²-2ax+b|=|（x-a）²+b-a²|，圖象的對(duì)稱軸為x=a．
根據(jù)題意a²-b≤0，即f（x）的最小值b-a²≥0，
f（x）=（x-a）²+（b-a²），顯然f（x）在[a，+∞]上是增函數(shù)，
故③正確；
又f（x）無(wú)最大值，故④不正確．
答案：③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．