Question

【題目】已知函數．

(I)若，判斷上的單調性；

(Ⅱ)求函數上的最小值；

(III)當時，是否存在正整數n，使恒成立？若存在，求出n的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(I)見解析；(Ⅱ)見解析； (III)見解析

【解析】

（I）根據f′（x）的符號得出結論；

（II）討論a的范圍，得出f（x）在[1，e]上單調性，根據單調性得出最小值；

（III）化簡不等式可得n+xlnx，根據兩側函數的單調性得出兩函數在極值點處的函數值的大小，從而得出n的范圍．

（Ⅰ）當時，

由于，故，

在單調遞增.

(Ⅱ)

當時，在上單調遞增，

，

當時，由解得（負值舍去）

設

若，即，也就是時，單調遞增，

，

若，即時

單調遞減，

單調遞增.

故

若即時單調遞減

，

綜上所述：當時，的最小值為1；

當時，的最小值為

當時，的最小值為.

（Ⅲ）當時，不等式為

恒成立

由于，故成立，，又

所以n只可能為1或2.

下證時不等式恒成立

事實上，設

，

又設在單調遞增

故

即

所以當時，單調遞減，

時，單調遞增，

故

即時，，對恒成立，

所以存在正整數n，且n的最大值為2，滿足題意.