Question

已知函數f（x）=-x³+x²+b，g（x）=，其中x∈R
（I）當時，若函數為R上的連續函數，求F（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a=-1時，若對任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式g（x₁）＜f（x₂）恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由連續的定義可知，函數F（x）在x=2處的極限存在且極限與F（2）的值相等，可求a，利用導數判斷函數的單調性即可
（II）對任意x₁，x₂∈[-1，2]，g（x₁）＜f（x₂）恒成立?g（x）_max＜f（x）_min，x∈[-1，2]，利用導數分別求解函數g（x）的最大值與f（x）的最小值，從而可求b的范圍
解答：解：（I）當時，函數F（x）為R上的連續函數，
∴
∴a=8
∵f′（x）=-x²+2x=-x（x-2）令f′（x）＞0，0＜x＜2
∴當x≤2時，函數f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，2）上單調遞增．
又，
當x∈（2，+∞時，g′（x）＜0恒成立，
∴當x＞2時，函數g（x）在（2，+∞）上單調遞減．
綜上可知，函數F（x）的單調遞增區間為（0，2），單調遞減區間為（-∞，0），（2，+∞）
（Ⅱ）對任意x₁，x₂∈[-1，2]，f（x₁）＜f（x₂）恒成立
g（x）_max＜f（x）_min，x∈[-1，2]
∵a=-1
∴
此時g′（x）＞0即-x²+2x+1＞0
∴
當x∈[-1，2]時，函數g（x）在[-1，1-]上單調遞減，在上單調遞增．
而
∴當x∈[-1，2]時，函數g（x）的最大值為．
結合（I）中函數f（x）的單調性可知：當x∈[-1，2]時，f（x）_min=f（0）=b
∴g（x）_max＜f（x）_min
∴
即實數b的取值范圍為b
點評：本題主要考查了函數連續條件的應用，解題的關鍵是熟練應用基本定義，及利用導數求解函數的單調區間及最值，函數的恒成立與函數的最值的相互轉化