Question

【題目】已知函數．

（1）若函數的圖象與直線沒有交點，求的取值范圍；

（2）設，若函數與的圖象有且只有一個公共點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）函數沒有交點,即方程沒有解,可得到方程無解,構造函數,求其值域,進而可求出的取值范圍;

（2）兩函數只有一個公共點,即方程只有一個解,結合對數的運算性質及二次函數的性質,分類討論可求出的取值范圍.

（1）由題意,方程無解,即方程無解,

令,則函數與的圖象無交點.

,

令,因為,所以,

因為函數是上的增函數,所以的值域是,即函數的值域為.

故只需,可使函數與的圖象無交點.

即的取值范圍是.

（2）由題意,方程只有一個解,

,

即方程為,

則方程只有一個解,

令,則,整理得,該方程有且僅有一個正解.

①當時,則,解得,不符合題意,舍去;

②當時,則為開口向上的二次函數,當時,,

顯然,二次函數存在唯一正零點,即方程有且僅有一個正解,符合題意;

③當時,則為開口向下的二次函數.

若一元二次方程有兩個相同正解,則,解得或.

時,解得,不合題意,舍去;時,解得,符合題意;

若一元二次方程有兩個不同的解,且只有一個正解,則,解得或,且,即,不符合,舍去.

綜上,的取值范圍是或.