Question

【題目】已知圓上一動點，過點作軸，垂足為點，中點為．

（1）當在圓上運動時，求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點的直線與交于兩點，當時，求線段的垂直平分線方程．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或．

【解析】分析：（1）要求點的軌跡的方程，可設點的坐標為，由條件過點作軸，垂足為點，中點為，可寫出點A的坐標。因為點在圓上，故可將點的坐標代入圓的方程，可得點的軌跡。

(2)要線段的垂直平分線方程，應先求直線的方程，所以應設直線的方程，根據弦長求直線的方程。因為直線的斜率是否存在不確定，為了避免討論，可設直線方程為：，并與軌跡的方程聯立可得，由根與系數的關系可得，由弦長公式可得，可解得。分情況討論，求線段的中點，直線的斜率，進而可求線段的垂直平分線方程。

詳解：（1）設，則

將代入圓方程得：點的軌跡

（注：學生不寫也不扣分）

（2）由題意可設直線方程為：，

由得：

所以

所以．

當時，中點縱坐標，代入得：

中點橫坐標，斜率為

故的垂直平分線方程為：

當時，同理可得的垂直平分線方程為：

所以的垂直平分線方程為：或．