Question

(本小題滿分14分) 已知R,函數(x∈R).
（1）當時，求函數f(x)的單調遞增區間;
（2）函數f(x)是否能在R上單調遞減，若能，求出的取值范圍；若不能，請說明理由;
（3）若函數f(x)在上單調遞增，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）當時, 函數f(x)在R上單調遞減；（3）

本試題主要是考察了導數在研究函數中的運用。利用導數求解函數的單調性和研究函數的參數的范圍問題。
（1）直接求解函數的導數，判定導數的正負，得到單調區間，
（2）如果在給定區間單調，則導數恒大于等于零或者恒小于等于零來得到參數的范圍。
（3）同上，結合函數的單調區間，分離參數的思想得到a的范圍。
解: (1) 當時,,
.--------2分
令,即,即，
解得.函數f(x)的單調遞增區間是.-------4分
(2) 若函數f(x)在R上單調遞減,則對R都成立,-------6分
即對R都成立, 即對R都成立.
,解得.
當時, 函數f(x)在R上單調遞減.---------9分
(3) 解法一：∵函數f(x)在[-1,1]上單調遞增,
對都成立,對都成立.
即對都成立.---------11分
令，則
 解得
.-----------14分
解法二： 函數f(x)在上單調遞增,
對都成立, 對都成立對都成立,即對都成立.----11分
令, 則.------12分
當時，；當時，.
在上單調遞減,在上單調遞增.
，在上的最大值是.
.-----------14分