Question

（14分）設(shè)函數(shù)，其中。
⑴當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
⑵求函數(shù)的極值點；
⑶證明對任意的正整數(shù)，不等式成立。

Answer 1

⑴當時函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增
⑵時，有唯一極小值點；
時，有一個極大值點和一個極小值點；時，無極值點。
⑶證明見解析

本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，求解函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，以及函數(shù)與不等式的綜合運用。
（1）先求解函數(shù)的定義域，然后求解導數(shù)，令導數(shù)大于零或者小于零得到單調(diào)區(qū)間。
（2）由⑴得當時函數(shù)無極值點，接下來對于參數(shù)b，進行分類討論，看導數(shù)為零的解，進而確定極值的問題。
（3）當時，函數(shù)，令函數(shù)，
則,當時，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，又,時，恒有
即恒成立，從而得到證明。
解：⑴由題意知的定義域為（1分），
設(shè)，其圖象的對稱軸為，
當時，,即在上恒成立,當時，
當時函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。………………………（3分）
⑵①由⑴得當時函數(shù)無極值點………………………（4分）
②時，有兩個相同的解
時，，時，
函數(shù)在上無極值點………………………（5分）
③當時，有兩個不同解，，
時，，即
時，、隨的變化情況如下表：

由此表可知時，有唯一極小值點；………………（7分）
當時，，,此時，、隨的變化情況如下表：

由此表可知：時，有一個極大值點和一個極小值點；……………（9分）
綜上所述：時，有唯一極小值點；時，有一個極大值點和一個極小值點；時，無極值點。（10分）
⑶當時，函數(shù)，令函數(shù)，
則,當時，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，又,時，恒有
即恒成立…………………………（12分）
故當時，有…………………………（13分）
對任意正整數(shù)，取,則有，故結(jié)論成立。……（14分）