Question

設a為實數, 函數f（x）＝x³－x²－x＋a．
（1）求f（x）的極值;
（2）若曲線y＝f（x）與x軸僅有一個交點, 求a的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）的極大值是f（）＝,極小值是f（1）＝a－1．
（2）當時，曲線y＝f（x）與x軸僅有一個交點．

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）因為a為實數, 函數f（x）＝x³－x²－x＋a．求解導數，結合導數的符號判定單調性得到
f（x）的極值;
（2）因為曲線y＝f（x）與x軸僅有一個交點, 由此可知x取足夠大的正數時有f（x）>0, x取足夠小的負數時有f（x）<0．
所以曲線y＝f（x）與x軸至少有一個交點，結合導數的思想判定得到。
（1）＝3x²－2x－1．若＝0,則x＝－或x＝1     ………… 2分
當x變化時，、f（x）的變化情況如下表:

				1
	＋	0	－	0	＋
f（x）		極大值		極小值

 
…………4分
所以f（x）的極大值是f（）＝,極小值是f（1）＝a－1．………… 6分
（2）函數f（x）＝x³－x²－x＋a＝（x－1）²（x＋1）＋a－1．
由此可知x取足夠大的正數時有f（x）>0, x取足夠小的負數時有f（x）<0．
所以曲線y＝f（x）與x軸至少有一個交點．                  …………8分
結合f（x）的單調性可知,
當f（x）的極大值<0,即a時，它的極小值也小于0．
因此曲線y＝f（x）與x軸僅有一個交點,它在（1,＋）上．
當f（x）的極小值a－1>0,即a時，它的極大值也大于0．
因此曲線y＝f（x）與x軸僅有一個交點,它在（）上．
所以當時，曲線y＝f（x）與x軸僅有一個交點．…… 12分