Question

（本小題滿分12分）已知函數y=f(x)在定義域（—1+∞）內滿足f(o)=0，且f^／(x)= ，(f^／(x))是f(x)的導數）
（Ⅰ）求f(x)的表達式.
（Ⅱ）當a=1時，討論f(x)的單調性
（Ⅲ）設h(x)=（e^x—P）²＋（x－P）²，證明：h(x)≥

Answer 1

（Ⅰ）f(x)＝ln(1+x)—ax.
（Ⅱ）f(x)在（－1，0）上單調增，在（0，＋∞）上單調減；
（Ⅲ）h(x)＝（e^x－P）²＋（P－x）²≥。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）利用函數y=f(x)在定義域（—1+∞）內滿足f(o)=0，且f^／(x)= ,可以得到函數的解析式。
（2）根據a=1，分析f(x)= ln(1+x)—x.  (x＞－1)
，求解導數，然后令導數大于零或者小于零得到單調區間，進而得結論。
（3）根據由（Ⅱ）知f(x)≤f(0)＝0在（－1，＋∞）內恒成立
∴ln (1＋x) ≤x
∴e^x≥1＋x  e^x－x≥1   ∴（e^x－x）²≥1，從而證明不等式。
（Ⅰ）由f^／(x)＝.可得f(x)=ln(1+x)—ax+b，b為實常數.又f(0)＝0b＝0.
f(x)＝ln(1+x)—ax.
（Ⅱ）當a=1時，f(x)= ln(1+x)—x.  (x＞－1)
f^／(x)＝　　　∵x＞－1
由f^／(x)＝0x＝0 ∴當x∈（－1，0]時f^／(x)≥0，此時f(x)遞增
當x∈（0，＋∞）時，f^／(x)＜０，此時f(x)遞減
即f(x)在（－1，0）上單調增，在（0，＋∞）上單調減…………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f(x)≤f(0)＝0在（－1，＋∞）內恒成立
∴ln (1＋x) ≤x
∴e^x≥1＋x  e^x－x≥1   ∴（e^x－x）²≥1
∴≤≤（e^x－P）²＋（P－x）²
即h(x)＝（e^x－P）²＋（P－x）²≥…………………………12分