Question

已知函數f（x）=-x²+2ax+1-a．
（1）若f（x）在區間（-∞，1]是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若f（x）在區間（0，1]上有最大值為3，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，f（x）對稱軸必在x=1的右邊，故x=-

2a

2•(-1)

≥1，由此a的范圍．
（2）根據f（x）對稱軸為x=a，分①當a≤0時、②當 0＜a＜1時、③當 a≥1時三種情況，分別根據f（x）在區間（0，1]上的最大值為3，求得實數a的值．

解答：解：（1）由題意：f（x）對稱軸必在x=1的右邊，故x=-

2a

2•(-1)

≥1，
解得a≥1，故a的范圍為[1，+∞）．
（2）f（x）對稱軸為x=a，故①當a≤0時，
∵f（x）在區間（0，1]上為f_max（x）=f（0）=1-a=3，∴a=-2．
②當 0＜a＜1時，f（x）在區間（0，1]上為f_max（x）=f（a）=-a²+2a²+1-a=3，
解得a=-1（舍去），或a=2 （舍去）．
③當 a≥1時，f（x）在區間（0，1]上為f_max（x）=f（1）=-1+2a+1-a=3，
解得a=3．
綜上所述，a=-1，或a=3．

點評：本題主要二次函數的性質，求二次函數在閉區間上的最值，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．